根植课本关注应用适度创新——2015年高考数学江苏卷评析与思考

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

根植课本关注应用适度创新
——2015年高考数学江苏卷评析与思考

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

2015年高考已落下帷幕，社会各界对江苏卷的评价众说纷纭.笔者的整体感受是今年江苏卷试题可谓基于基础，凸显本质，精彩纷呈，亮点颇多.试题遵循课程标准、考试说明和考试大纲，立意清晰，重点突出，背景深刻，试题源于教材又活于教材，试题区分度好，具有很好的选拔功能.既重视对双基的考查，又兼顾对学生继续学习所需的数学素养和潜能的考查，为推进普通高中新课程改革起到很好的引领作用.

一、2015年江苏高考特点分析

1.立足基础，凸显主干，渗透数学思想

纵观2015年江苏卷你会发现所考查的知识点全部是高中数学学科的核心内容和主干知识，而且严格遵循课程标准、考试说明和考试大纲，同时更加注重数学思想方法的考查，而且考查得入木三分.全卷对三角函数（如第8题，第14题，第15题）、解析几何（如第10题，第12题，第18题）、立体几何（如第9题，第16题）、函数与导数（如第7题，第13题，第17题，第19题）、数列（如第11题，第20题）等主要内容的考查占有相当的比例.大多数题重基础，只要概念清晰、解答规范、基础知识牢固就能得到该得的分数；多数解答题虽有一定的综合性，但也是由若干个基础题整合而成.

另外，在考查知识点的同时也渗透了大纲要求的重要数学思想.例如，数形结合的思想渗透在解析几何（第10题、第12题）、函数图像（第13题、第19题）等题目中；函数与方程的思想则体现在第13题、第19题等题目中；转化与化归思想贯穿整份试卷，如第19题第（2）问，是个零点存在问题，却可以转化为恒成立问题；试卷对分类讨论的思想（第19题第（1）问、第20题等）做了深入考查.例如，用来压轴的第19题，用常规的题目背景——导数，而且题目的表述简洁明了，考生一看就是常规题，因为相似问题在平时模考中做过很多；但如何实施等价转化、分类讨论、数形结合，没有较强的运算能力和深厚的数学功底是难以做出最终结果的，下面举例说明.

例1（江苏卷第11题）数列｛an｝满足a1=1，且an+1-an=

解：由已知连续两项差满足一定的关系，可以想到利用累加法求出数列｛an｝的通项公式an=1+2+3+…+n=___________.

此题短小精悍，数学概念清晰，内涵丰富，富有启迪性，对基本知识的综合运用能力，分析问题、解决问题的能力可以说考查得淋漓尽致，尽善尽美.

点评：此题考查了数列通项公式的重要求法——累加法，数列前n项和的重要求法——裂项法等重要的方法，是学生在各种练习中常练的题型，属于常规基础题，很容易上手.

例2（江苏卷第13题）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=

当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，2）上为减函数.

又h（1）=1，h（2）=-2+ln2＜-1，所以方程f（x）+g（x）=±1

又φ（2）=-2+ln2＜-1，φ（3）=3+ln3＞1，所以方程f（x）+ g（x）=±1在［2，+∞）内有2个根.

综上，方程|f（x）+g（x）|=1有4个实根.

点评：研究函数的零点问题其实就是研究函数的图像和性质，本题在考查函数零点这个知识点的问题上，借助函数图像，综合考查了分类讨论、数形结合、转化与化归等重要数学思想.

2.稳中求新，立意深远，注重问题表征能力的考查

试题的稳体现在试卷结构没有大的变化上，并不回避重点知识重点考，换言之，在考前老师和学生都知道所考的大致内容；试题的新体现在题目的设计上，给人一种耳目一新，眼前一亮的感觉.如第9、10、12、13、17、18题，在设计上非常新颖，看似熟悉，实质有别，要求学生具有较好的问题表征能力，具备一定的转化与化归能力，尤其是第9、13题，需要学生有一定的理解能力.现撷取部分试题解析如下：

例3（江苏卷第10题）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______.

法六：由直线过定点A（2，-1），从而使问题更简洁，可以转化为半径最大值为定点与已知点（圆心）间的距离于是圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.

点评：此题可以说是很传统的常规题，所考查的内容是直线与圆的基础知识、基本思想方法，同时，以此为背景的试题在历年的竞赛与高考中都曾出现过.因此此题入手宽，过渡自然，解法多样.不但较好地考查了直线与圆的相关知识，也充分考查了学生的运算求解能力、推理论证能力，以及转化与化归的思想，对不同能力层次的学生解决这个问题的方法速度是有很大差异的，因此，本题能起到很好的区分效果.

3.源于教材，归于生活，回归数学本质，凸显教材价值

江苏卷一直坚持试题源于教材、源于生活，凸显了教材的价值，使数学返璞归真.如第1、2、3、4、5、6、7、8、11、15、16、17、18、19（1）、20（1）题等试题就是取之于教材，但又高于教材，在课本习题或图形的基础上进行改编，有的试题表面看似无任何关系，但其解题过程中的思想方法、解题技巧却与课本高度一致.试卷的第9题、第17题，都来源于生活，背景对学生来说非常熟悉、公平，也符合新课程标准中倡导的“发展学生的数学应用意识”的理念，使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.

例4（江苏卷第17题）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1、l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图1所示，M、N为C的两个端点，测得点M到l1、l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1、l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=

图1

（1）求a，b的值.

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f（x），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

本题以山区修公路为背景，要求考生建立数学模型、适度创新，运用所学的数学知识分析问题，完成山区公路设计.试题的设计使考生置身于问题情境之中，充分体现数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，形成自觉创新应用意识，彰显数学的理性精神与人文情怀，进而影响学生的情感态度与价值观.

点评：本题的建模过程简洁明朗，而数学模型也十分简约，但求解过程却能测试学生的数学思维能力.因此加强实践能力的考查是时代发展的需要，同时也是由数学学科的特点所决定的，培养学生综合所学数学知识、思想和方法来解决问题的能力是数学教师义不容辞的责任.

例5（江苏卷第19题）已知函数y=f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）.

（1）试讨论f（x）的单调性；

（2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪

本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，同时考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力，两问的来源均出于教材.

（1）题源即为导数与函数单调性的关系，其中涉及了对参数的分类讨论，若对分类的标准或依据不够熟练，就很难拿满本小题的得分.（限于篇幅，此问解答略）

（2）题源即为零点的存在定理，在此处的考查可以看成是求含参数的零点的逆向问题，即已知零点个数，求参数范围.

本题已知零点的个数，据函数图像（得到参数满足的不等式），求参数的范围，其中给出一个参数的范围求另一个参数的范围，也可以转化为不等式恒成立的问题来解决.

解法二：由题知函数f（x）有三个不同的零点，f′（x）= 3x2+2ax开口向上，故函数的单调性为先增再减再增.故方程f′（x）=3x2+2ax=0有两个不等实根，且小根为极大值点，大根为极小值点.又函数有三个不同的零点，故极大值大于0，极小值小于0.

点评：本题是含参数问题的一个变形，已知取值范围，只要抓住三个字“恒成立”，可快速破解.其本质是处理二元参数问题，可以选定a作主元，c作参数，则不等式转化为函数的最值问题，也就回归到我们熟悉的题型.学生做不出最后结果就难在等价转化与思维的转变上.平时过于注重题型教学，而在能力的培养上没有达到相应的高度，未能形成真正的数学思维，只能生搬硬套，在没见过的题目面前，无所适从，缺少分析问题的思维能力，不能灵活变通，透过现象看到问题的本质.

4.注重运算，强调能力立意，凸显课改方向

不难看出2015年江苏省数学高考试卷在推动与顺应课改方面又做出了积极的尝试，在情景设置上贴近学生实际，贯彻课程改革理念.全卷注重考查学生对数学概念、定理等的本质的理解，强调基础，基本概念清晰、基本运算过关的考生都能较好解答，展示了数学测试与评价的方向.如试卷的第18题，学生入手解答并不困难，但由于其重推理又重计算，想要圆满完成解答，则需要具备较高的数学能力、严密深刻的数学思维和良好的运算能力.

图3

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

本题主要考查直线和椭圆的方程及位置关系、中点坐标、方程根与系数关系、两点间距离公式.考查问题简单、质朴，体现了解析几何的本质特征，实现了坐标法和方程法在解决解几问题中的应用，符合江苏考试说明精神.题型简单质朴，不偏不怪，学生很容易找到解题思路.

（2）设直线AB的方程，找出点A、B、C、P的坐标与直线AB的斜率关系，利用两点间距离公式建立方程求解.

此种解法由于将直线AB的方程代入椭圆方程，使得计算变得异常复杂，不少学生未能求出结果.对于解析几何，也有一些常见方法简化运算，如可以将AB的方程设为：x=my+1，具体方法同法一（限于篇幅，此处略），或者也可以设点，用“点差法”解决.

所以，kAB=kCF=±1，从而AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

点评：本题形式简洁，入口较宽，方法多样，平而不俗.注重通性通法，各种方法之间又有密切的联系，内涵丰富，突出了对学生计算能力、灵活运用知识能力的考查，以及对数学转化与化归思想方法的考查.与深化普通高中课程改革的方向完全吻合，体现了能力立意的宗旨，是一道非常漂亮的好题.

二、教学启示与思考

1.求准——熟悉考纲明要求、研究评价探方向

做完今年试卷最大的感触就是题海战术已无用武之地.很多高三老师和学生也都发出这样的感慨：高中数学白学了，那么多题白做了！其实，这也是课程改革的大趋势，破除题海战术，而是加大对学生探究能力、创新能力、思维能力的考查.做题不在多，关键是有思想方法引领才行.从今年的试题我们可以看到思想、方法、技巧以显性知识呈现在各个试题中，如果不揭示数学思想、方法、技巧的本质，就会只见到简单的数学操作和技巧的神秘出现，看不到数学的真谛.而当揭示出思想、方法、技巧的内涵时，诸多试题都是妙手偶得的一招一式.这就告诉我们数学教学一定要为学生的真正理解而教，为提升学生的思维而教.

2.求实——分析考题看变化、勤于反思善总结

高考命题遵循“有助于高校选拔新生，有助于中学数学教学”的指导思想，而《考试说明》中明确指出：“对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，这是构成数学试卷的主体.”因此，在复习教学中，我们必须抓住数学的主干知识，突出重点内容.函数方程与不等式、三角函数与平面向量、数列、立体几何、解析几何等大章节知识是中学数学的主干知识，已成为数学试题的主体，而且总是稳中生变，平中生奇，淡中生趣.复习教学中要加强近年高考试题的研究，既要对全国新课标试卷中相同知识领域的试题进行横向比较，找差别、找共性、找联系、找特点，还要对本省市近两年的高考数学试题进行纵向对比，找趋势、找方向、找规律，这样可以明确高考试题的重点、难点、热点、冷点，使复习目标更明确，针对性更强.高三复习教学中，解题教学是必不可少的，但不可为做题而做题，而要“借题发挥、举一反三、触类旁通”，借助问题载体，巩固知识方法，注重解题“三思”，积累解题经验.所谓“三思”，一思知识提取是否熟练：本题涉及哪些重要的知识？题目特殊在哪里？二思方法是否熟练：用到哪些思想方法、解题思路？为什么要用这种方法？解题的关键是什么？突破口在何处？能否推广？方法是否具有一般性？三思存在的弱点：为什么没有做出？产生了哪些错误？为什么会出现这样的错误？走了什么弯路？通过反思总结，提高直觉猜想、归纳演绎、快速运算等思维能力.每题必思，终有收获.

3.求真——回归教材重基础、点拨高效解疑难

立足教材、立足通性通法是江苏省数学高考命题一直延续的特点和不变的追求，同时也给我们教师指出高考题背景本是有源之水，源头便是教材中的核心知识，典型例题、习题.正所谓“问渠那得清如许，唯有源头活水来”.探究高考试题根源的精彩，充分挖掘数学问题的本质，揭示数学问题的精髓是破除题海战术最有力、最有效的武器.

三、结束语

2015年江苏卷尽管亮点频频，但也有一些不尽如人意的地方：难题过难，简单题又过于简单，压轴题的坡度过大；整份试卷的计算量偏大；对函数与导数部分考查的题量过多等.但是，瑕不掩瑜，这些并没有影响江苏卷在教师心目中的“美好形象”.整体来说，这是一份值得肯定的试卷.今年的江苏卷给予我们丰富的内涵和真知灼见的启迪——我们的数学教学最终不仅仅是教会学生解题，而是使学生学会了一种数学的思维，一种对数学本质的领悟与追求.F