践行课改精神 引领高效复习——基于一道课本例题在复习教学中的挖掘应用

☉重庆市梁平实验中学 蒋明建

践行课改精神 引领高效复习
——基于一道课本例题在复习教学中的挖掘应用

☉重庆市梁平实验中学 蒋明建

高中数学教材既是实现课程标准和实施课堂教学最重要的文本资源，也是高考命题和备考复习最直接的素材来源.“认真钻研教材内容，正确理解教材意图，准确把握教材要求——创造性地使用教材”是课改倡导的主要理念，同时也是一种操作策略.而数学的例、习题是数学教材的重要组成部分，绝大多数例、习题具有示范性、典型性和探究性，是课本的精髓.它们或是重要结论，或者体现某种数学思想方法，或者是某个一般数学命题的具体形式.它的延伸、转化和拓广，呈现出丰富多彩的数学内容，往往成为高考试题、竞赛试题推陈出新的源泉，有很高的教育价值.因此，在当前课改背景下的高三应考复习教学中，教师应充分认识课本例题所蕴含的价值，注重对课本例题进行充分地挖掘和研究，探究一些典型题目中蕴含的东西，发挥其内在潜能，不仅能整合课本知识模块，使学生深刻把握不同知识间的内在联系，构建有序的网络化知识体系，优化认知结构，而且有利于激发学生探究数学课本例题的热情，开发学生的思维潜能，提高学生的数学素养，达到经济、高效的复习效果.本文将谈谈一道课本例题在高三复习教学中的挖掘应用，供读者参考.

一、题目呈现，原解实录，体会教材编排意图

案例：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.（人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修2P105例4）

原解实录（坐标法证明）：建立如图1所示的平面直角坐标系，有A（0，0）.设B（a，0），D（b，c）.由平行四边形的性质得C（a+b，c）.因为|AB|2= |CD|2=a2，|AD|2=|BC|2=b2+c2，|AC|2=（a+b）2+c2，|BD|2=（b-a）2+ c2，所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2（a2+b2+c2），|AC|2+|BD|2= 2（a2+b2+c2），所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.命题得证.

课本中编排这个题目，意在让学生体会用坐标法证明平面几何问题的思想，及时巩固两点间距离公式，初步总结出用坐标法解决平面几何问题的基本步骤.同时，通过这一解答，还需要学生进一步认识到，用坐标法解决问题，建立坐标系的方法较多，不同的坐标系的选择，其计算量是不同的，如何选择坐标系是用坐标法解决问题的关键.

二、解法发散，横向联系，整合课本知识模块

高一、高二上新课时，受教材章节编排和学生知识能力的限制，课本上的例题一般只给出一种解法，高三复习时学生已经较系统、全面地获得了有关基础知识，这时启发学生从不同的角度去联想，横向沟通，多方探求，就可以重现更多的知识点，使知识形成网络，也便于培养学生的求异思维和发散思维能力.

别解1：向量法.为了说明向量方法在平面几何中的运用，本题再次作为例题出现在数学必修4“平面向量应用举例”中例1（P109），展示了本题的向量法证明，并由此归纳得出了用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”.充分显现了本题目的基础性、典型性和示范作用.

图1

值得一提的是，复数与复平面上的点及从原点出发的向量成一一对应关系，这种对应关系赋予了复数运算明确的几何意义.因此，借助于复数运算的几何意义，我们还可以采取更为灵活、简便的方法解决本题（解答略）.从而将这一几何证明问题与数学选修1-2P56和数学选修2-2P108中的复数知识有机地融合在一起.

图2

三、活用结论，以题攻题，彰显例题的应用价值

本题的结论是平行四边形的一条重要性质，应用这一重要结论去解决课本有关习题、高考题、竞赛题等，不但解法别开生面，过程简单明了，使问题解答收到事半功倍的效果，而且还能训练学生解题思维的灵活性和敏捷性，使学生学会通过处理一个问题解决一串问题的本领，彰显课本例题的应用价值和教学功能.

1.解课本习题

题1：（数学必修2习题3.3B组第7题（P110））已知AO是△ABC的边BC的中线，求证：|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

证明：已知AO是△ABC的边BC的中线，则O是BC的中点，那么2|AO|、2|CO|就是以△ABC的边AB、AC为相邻两边的平行四边形的两条对角线长，所以直接应用本文例题中的结论，得2（|AB|2+|AC|2）=|2AO|2+|2OC|2，即|AB|2+ |AC|2=2（|AO|2+|OC|2），证毕.

题2：（数学必修2习题4.2A组第8题 （P133））Rt△ABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作半径为n的圆，分别交BC于P、Q两点，求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.证明：注意到点O是线段PQ的中点（如图3），所以PQ、2AO是以AP、AQ为相邻两边的平行四边形的对角线，直接运用结论，得|AP|2+|AQ|2=.已知|PQ|=2n，于是|AP|2+|AQ|2+ |PQ|2=2n2+（定值），命题得证.

图3

题3：（数学必修5习题1.2A组第13题 （P20））△ABC的三边分别为a、b、c，边BC、CA、AB上的中线分别记为ma、mb、mc，应用余弦定理证明：

证明：按照要求，本题需两次使用余弦定理建立等式才能达到证明目的.但若熟悉本文例题中的结论，能获得比应用余弦定理证明更加简洁、明快的证明方法.

事实上，因为ma是边BC上的中线，所以2ma和BC是以AB、AC为相邻两边的平行四边形的两条对角线，由结论直接得到（2ma）2+a2=2（b2+c2），即ma=

一步到位，干净利索！（其余两式同理可证）

2.解高考题

（详解见文［5］中解析5）参考答案：D

3.解竞赛题、联考题

题5：（2012年上海市 “新知杯”高中数学竞赛第9题）如图4，在平行四边形ABCD中，AB=x，BC=1，对角线AC与BD的夹角∠BOC=45°，记直线AB与CD的距离为h（x），求h（x）的表达式，并写出x的取值范围.

图4

题6：（2014年北约联考模拟卷（2）第1题）已知平行四边形两条邻边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长度.

图5

4.证明定理

定理1：矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等.

证明：如图5，P是矩形ABCD所在平面内一点，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点Q，连接PQ，易知点Q是AC与BD的中点，运用结论可得2（|PA|2+|PC|2）=|AC|2+（2|PQ|）2，2（|PB|2+ |PD|2）=|BD|2+（2|PQ|）2，矩形ABCD中，|AC|=|BD|，所以2（|PA|2+|PC|2）=2（|PB|2+|PD|2），即|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2，命题成立.

定理2：空间中一点到矩形一条对角线两端点的距离的平方和等于到这个矩形另一条对角线两端点的距离的平方和.

根据问题特征，直接运用平行四边形的这一重要性质解决以上高考题、竞赛题、联考题和定理证明，不折腾、不费力，简便快捷，事半功倍，凸显出了例题结论极高的应用价值.

学以致用，挖掘例题结论的应用价值，多题一解，多解归一，起到了弄通一题而旁通一批，举一反三、事半功倍的教学效果，从而落实基础，提升能力，培养了思维的发散性、收敛性、灵活性和创造性，是拒绝题海战术，提高复习效率的好方法.

四、反思、感悟

高一、高二学习新课的时候，受知识能力的限制，不少知识的获得往往是零散的，缺乏必要的广度、深度和高度，也不允许违背学生认知规律去打破章节界限，拔高要求做到“一步到位”.高考是人才选拔考试，数学高考命题注重学科的内在联系和知识的综合性，注重从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，以加强对能力和素质的考查，它要求考生对课程内容能够融会贯通，系统地掌握课程内容的内在联系，因此，在应考复习中，要重视基本能力与综合能力的培养.“温故而知新”，因高三学生的视野相比高一、高二时更为开阔，对教材中例题、习题等原有知识的认识和处理，切忌只是进行简单地“就事论事”和“重复放映”，而应该站在整体的高度重新审视教材，应有“看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山还是山，看水还是水”的思想认识境界，力求有新的理解、新的发现、新的感悟.

总之，在全面推进课程改革的今天，在复习备考的过程中，只有践行课改精神，站在高中数学整体的高度与教材对话，敢于打破章节界限，激活教材例题的潜在价值，充分发挥其在教学中的引领作用，我们才能使得复习既有熟悉感，又有新鲜感，激发起学生的求知欲，让学生在兴趣盎然中加深对基础知识的理解与巩固，才能真正摆脱“题海”的束缚，减轻学生负担，提高复习备考效率.

1.王申怀，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.章建跃，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.李建华，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.钱佩玲，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学2-2（选修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.蒋明建.关注知识交汇 解析高考难题［J］.中学数学（上），2014（2）.

6.洪恩锋.挖掘真题潜在价值 引领高三高效复习——有感于一道高考压轴真题［J］.中学数学（上），2014（4）.

7.王峰.立足课改精神，提高复习效益［J］.中国数学教育（高中版），2012（1-2）.A