让解后反思成为高三数学复习的助推器

☉江苏省梅村高级中学 华喜红

让解后反思成为高三数学复习的助推器

☉江苏省梅村高级中学 华喜红

在近几年的高三数学复习教学中一直有这样的困惑：一个数学题目自认为讲清楚了，但下次遇到同类型的问题学生还是束手无策；也有些题目，知识点学生是明白的，老师也认为没问题，但一做还是错.常听见学生这样埋怨：我数学题做得不是不多，数学成绩却迟迟得不到提高！这就引起笔者的反思，特别是课堂上的题目讲评值得反思，必须讲得透彻.数学题目是知识由产生到应用的关键一步，然而很多时候只是简单讲解，解后并没有引导学生进行反思，因而学生的学习也就停留在题目表层，做题只会简单地模仿，那么出现上述情况也就不奇怪了.解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、能力逐步提高的过程.从这个角度上讲，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容.本文拟从以下三个方面作些探究.

一、在解题的方法规律上反思

善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.

案例1：在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M、N为圆O上不同的两点，且满足若则的最小值为_________.

分析：这题属于难度比较大的题目，如何引导学生思考本题非常关键.

思路1：遇到圆中与弦有关的问题，一般联想去利用垂径定理、勾股定理解决，这种方法或规律在解后反思时必须呈现给学生.

略解：如图1，设O到MM′、NN′的距离分别为d1、d2，弦长分别为l1、l2.

图1

思路2：遇到解析几何中的双动点或单动点最值问题，一般联想利用几何意义去处理，如截距、斜率、距离等，这样的方法指导同样在解后反思中必须呈现给学生.

如图2，设MN的中点为T，易知|MN|= 2|PT|，由于P是定点，可以求T点的轨迹，再利用P、T两点之间的距离求解.

略解：设点T（x，y），|NT|2+|OT|2=|ON|2= 16，|NT|=|PT|，即|ON|2=|OT|2+|PT|2，则16=x2+y2+（x-1）2+（y-2）2，得出轨迹方程为.以下过程略.

图2

通过问题的层层剖析，学生对圆的认识又深了一层，对多元问题的处理也能掌握一定的方法和技巧；通过例题解法多变的教学，有利于帮助学生形成思维定势，而又打破一定的思维定势，有利于培养思维的变通性和灵活性.

二、在学生易错处反思

学生的知识背景、思维方式往往与教师不同，而其表达方式可能又不准确，或思维不太严密，这就难免有“错”.高三讲评教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！

案例2：（最近笔者所在学校进行的高三月考试卷第4个填空题）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率.批完试卷笔者惊呆了，全班47人有25人做错了，诊断其原因，学生确实是利用几何概型来处理，但是没搞清楚等可能的角度.本题是在∠ACB内部任意作一条射线，是等可能的，所以应该把∠ACB作为区域D.若变为在斜边AB上任取一点M呢？由于M落在AB上任何一点是等可能的，那么此时线段AB是区域D.

【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=，第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.

以上两个案例都充分说明学生对课本知识点没有充分理解和把握，也就出现了学生会用，但不知道在什么情况下用.因此在复习时一定要抓住学生出错这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视.这样的反思可以放在平时的小题或“三基”训练中，引导学生结合考纲进行反思总结：（1）数学考纲中的哪些知识点学生容易出错？（2）出现这些错误的原因有哪些？针对各种“病因”，让学生亲手开出有效的“方子”，这样易错题也就会成为不错题.

三、在情感体验处反思

解决每一个问题的过程并非仅仅只是一个知识运用或技能训练的过程，而是一个伴随着联想、类比、假设、推理甚至灵感突现的综合过程，学生有可能品尝到失败的苦涩，也很可能收获“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦；他可能是独立思考所得，也有可能是通过合作解决.因此教师应该引导学生进行解后反思，这样有利于培养学生积极的情感体验和学习动机；有利于激励学生的学习兴趣，变被动学习为自主探究学习.

案例4：在一次解析几何复习课上，笔者设置了这样一道题目.

（1）证明P、Q两点的横坐标的平方和为定值.

（2）将过A、P、Q的动圆记为圆C，求证：动圆C必过异于点A的定点.

（2分钟后提问）学生A：将直线方程与椭圆方程联立，消去y，得x2+2mx+2（m2-1）=0 ①，然后利用韦达定理解决.

（5分钟后提问）三位同学无法解决第二问.

（7分钟后提问）学生B：既然圆C过定点，那就与题目中的参数m无关，我想把圆的方程用m表示出来，

教师：很好，这样的设想不错，但是能不能进行下去呢？

学生B：因为圆的方程有标准方程和一般方程，我觉得过三点的圆用一般式比较简单.

（同学C受启发了，举手示意）

学生C：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将它与直线方程联立，消元得x2+（m2+Em+F） =0 ②.由于①与②是同解方程，则对应系数相等，可求出D、E、F（用m表示），下面解略.

整个问题由于学生之间的合作轻松解决了.解后一起和学生反思，反思本题的突破口在于什么.其实最关键的是要能发现P、Q既是直线与圆的交点，也是直线和椭圆的交点.紧接着笔者又一次让学生反思题目为什么要设置第一问，难道仅仅让你算一下结果？

（3分钟后）学生D：可用第一问的结论去做第二问，将P（x1，y1）、Q（x2，y2） 分别代入圆的方程，得两方程相加，化简得5-2Dm+Em+ 2F=0.又圆过点A（2，0），可以得到4+2D+F=0.（回答到此，同学们议论开了）

教师：由上面两个条件是求不出D、E、F的，必须再找到一个方程，笔者引导学生从解方程组的方法考虑，如两式相加、相减、相乘甚至相除.这样类比的教学反思使同学们异口同声地回答：相减.因此问题又一次轻而易举的解决了.因此在解后反思环节中，还可以让学生去多注意各小题之间的联系，揣摩一下老师出卷的意图，很多时候上面的问题为下面的问题埋下伏笔，这也是解决问题的一种捷径.

数学教育家弗赖登塔尔就指出：反思是数学活动的核心和动力.总之，在解后的反思中方法、规律得到了及时的小结归纳；解后的反思使我们拨开迷蒙，看清“庐山真面目”而逐渐成熟起来；在反思中学会了独立思考，在反思中学会了倾听，学会了交流、合作，学会了分享，体验到了学习的乐趣，交流的快乐！

1.熊川斌.反思性教学［M］.上海：华东师范大学出版社，1999.

2.蔡颖，计惠芳.反思，教师专业成长的阶梯［J］.数学通讯，2014（11）.A