基于高考数学复习题“选、编”环节的思考

☉江苏省建湖县第二中学 秦一根

基于高考数学复习题“选、编”环节的思考

☉江苏省建湖县第二中学 秦一根

在现行的江苏高考模式中，数学学科分值在总分中所占比重较大，因而数学学科的高考复习工作一直备受广大师生的关注，笔者从事高中数学教育教学工作多年来，一直致力于实现高考数学高效复习的研究工作，在本文中以高考数学复习为探究载体，采取理论研究与实际案例相结合的方式，侧重于阐述高中数学教师在高考复习中如何合理进行“选、编”高考复习试题，以期快速提升高考数学复习的质量与效率，以飨读者.

一、对于高考数学复习题要做到“选得当，练得法”

新课改以来，高考数学试题呈现考查内容形式多样、综合性强、能力考查突出等变化趋势，这样对我们高考数学复习中的选题工作提出了一定的要求：基础知识与综合应用双管齐下；灵活运用与不偏不怪有机结合；注重选题的针对性、典型性和灵活性的特征.

1.夯实“三基”，凸显重点

高考数学学科注重：基本知识、基本技能与基本方法即“三基”的考查，因此，在复习中数学教师应该考虑从不同角度、方位和层次选择合适试题，进行分析处理夯实“三基”，促进能力的提升.

例1 自变量x取何值时y=sinx+cosx存在y∈［1，

本题是高中阶段一道基本试题，命题的形式较“死”，学生基本都能快速处理，但是如果通过下面几道“活”题的训练，能够让学生受益匪浅.

（1）已知θ为△ABC的内角，则sinθ+cosθ的取值范围是_________.（答案：（-1，）

（2）已知sin3θ+cos3θ＜0，则sinθ+cosθ的取值范围是_________.（答案：［-）

思路1：由μsinθ-cosθ=1移项可得μsinθ=1+cosθ，此式中等式左边小于1，等式右边大于1，所以符合题设条件的μ不存在.

思路2：由μsinθ-cosθ=1化简可得μsinθ=1+cosθ，即，则μ=由于0＜则0＜tan＜1，即μ＞1，与题设产生矛盾.

上述题目体现了“由浅入深、由客观到主观、由封闭到开放”的鲜明特征，追本溯源，其涉及的数学基础知识与例1相仿；这样新颖别致的选题能促进学生思考与探索，有助于“三基”的夯实.

2.深思点拨，洞察辨析

数学教师在课本基础之上进行深层思考，将学生教会，为了减少数学运算量可以对学生的解题技能和方法进行适当点拨.然而，在平时的解题实践中，普遍存在一种现象：许多学生感觉“会”但做不对，有的做“对”了一部分但是不全.作为一线的高中数学教师，应该针对学生的实际情况选择容易混淆、容易出错的试题进行训练，理解数学概念的本质，提升学生处理问题的辨析能力.

例2 已知某一三棱锥中存在一组夹角为60°的对棱，长度分别为4和6，试求另一组对棱的距离.

解析：根据题意构造如图1所示的三棱锥S-ABC，SA=4，BC=6，且两者成60°，E、F、G分别是SC、AB、AC的中点，则容易得出FG= 3，EG=2，∠EGF=60°，则可得出EF==

拓展：若将BC延长至M，使得BC=CM，则三棱锥S-AMC也应该满足例2的题设条件，如图1，此时∠EGN和EN各为多少？（答案：120°，

反思：完成S-AMC的作图是以∠EGF与∠EGN互补为基础的，这是完成拓展试题的关键点；根据本题可归纳得出一般性结论：在三棱锥中，长度分别为a、b的第一组对棱成θ角，则第三组对棱中点的距离d=本题的呈现有助于学生对数学概念的理解、解题方法的熟练和处理实际问题中辨析能力的提升.

二、以考纲和说明为本，进行合理化的引申与演变，编拟创新试题

纵观近年来高考数学试题，我们不难发现：高考真题源于课本、贴近于课本，但又高于课本.在高考复习过程中，数学教师应该专研于课本教材的挖掘，将课本教材中典型例题与习题进行引申和变换编拟出新试题，进而深化“三基”，提升能力.

1.典型引路，探索编题

高考试题注重能力的考查，难度以中等居多，根据课本中的典型案例进行分析、探索编拟新颖难度又适中的试题进行训练，有助于帮助学生克服思维定势引起的负迁移，锻炼了学生心理素质的承受能力，可促进学生数学潜能的发挥.

（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值；

（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程.

探索与猜想：洞察本题中的题设信息：kOP·kOQ=-解题中的结论：|OP|2+|OQ|2=20=16+4；根据这些信息可以合理化地猜测出：kOP·kOQ=-，|OP|2+|OQ|2=a2+b2，根据这样的结论，可以拟编出引申试题.

（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值；

（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程N；

（3）求证：离心率eL=eN.

参考思路：利用参数方程进行求解方便快捷.

2.巧变形式，引申创新

高考数学试题形式多样，可以说是千姿百态，特别注重学生能力的考查，不断涌现出新题和活题，对学生的思维能力提出了较高的要求，这样要求在高考复习中应该创设一些变式、变形的创新引申试题进行训练.

例4 已知F1、F2为椭圆=1的焦点，P为椭圆上任意一点，求cos∠F1PF2的最小值.

思路分析： 令|PF1|=r1|PF2|=r2， 则cos∠F1PF2=

即cos∠F1PF2=

横向联想，平行编拟：已知F1、F2为椭圆=1的焦点，P为椭圆上任意一点，求cos∠F1PF2的最小值.

故设障碍，逆向编题：已知动点P到F1（-，0）、F的距离之和为定值，且（cos∠F1PF2）min=-求动点P的轨迹方程.（答案：

总而言之，由于高考真题具有较强的导向性与示范性作用，对高考试题的探究一直是一线教师探讨的永恒话题，在高考数学学科复习过程中，选题的对路问题与编题的合理性和灵活性问题是我们高中数学教师必须直接面对且进行深入分析思考的重点内容之一.实践证明，这也是提升高考数学复习有效性与高效性的重要基础和保障.F