基本不等式几何探究及应用*

☉陕西师范大学教育硕士

☉江苏省丹阳市第五中学 李 萍

基本不等式几何探究及应用*

☉陕西师范大学教育硕士

☉江苏省丹阳市第五中学 李 萍

一、教材探究

（人教A版必修5第111页探究题）在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD，你能利用这个图形得出不等式的几何解释吗？

图1

几何解释：如图1，易知△ABD为直角三角形，因为DC⊥AB，所以DC2=AC·BC，即DC2=ab⇒DC=.AB= AC+BC=a+b.

AB≥DE=2DC，当且仅当点C为圆心时“=”成立，此时a=b，即

二、深入探究

图2

几何解释：如图2，O是半圆的圆心，AB是直径，D为圆周上一点，DC⊥AB于C，且AC=a，BC=b（a＞b），FO⊥AB于O，连接OD、CF，过C作CE⊥OD于E，由图2可知CF＞OF= OD＞DC＞DE.

在Rt△OCD中，由射影定理得CD2=DE·OD，故DE=

说明：基本不等式是不等式中的重要内容，是高考命题的热点，在证明不等式及利用不等式求最值的问题中有着非常广泛的应用.下面就基本不等式及不等式链的应用举例分析.

三、应用探究

1.“和”“积”互化

例1 若正实数x、y满足2x+y+6=xy，则2x+y的最小值为_________.

令2x+y=t（t＞0），则t2-8t-48≥0，即（t-12）（t+4）≥0.又t＞0，则t≥12，即2x+y≥12，当且仅当2x=y，即x=3、y=6时，2x+y取得最小值12.

又2x+y=xy-6，则当且仅当2x=y，即x=3、y=6时，2x+y取得最小值12.

2.化多元为二元

例2 （2013年高考山东卷）设正实数x、y、z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最大值时，的最大值为（ ）.

解析：由已知条件得z=x2-3xy+4y2，代入得：=1，当且仅当，即x= 2y时，取得等号.此时，x=2y且z=2y2.再代入中，经过配方可得：1，当且仅当，即x=2、y=1、z=2时，取得等号.故的最大值为1.

评析：运用基本不等式求解多元式的最值问题其实也是各地高考的热门考点，其综合性强，能力要求高，往往需要通过仔细阅读、观察、发现、分析、探究，加上扎实的运算求解能力，方能实现问题的有效化解，“减元”是处理本题的关键.

3.逆向分析

解析：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给的区间入手，可得到≤0，当且仅当x=或x=3时取“=”，展开得2x2-7x+3≤0，所以2x2≤7x-3.

评析：运用逆向分析，使问题变得简洁、易求.因此，当解题思维受阻时，可采用“正难则反”的思考方法.

4.“1”作代换

例4 （2012年高考浙江卷）若正数x、y满足x+3y= 5xy，则3x+4y的最小值是（ ）.

评析：根据题目背景，有时将值为“1”的代数式代入多元目标式后，目标式便可明显具备直接运用基本不等式的条件和结构，从而实现问题的转化.

5.化异求同

例5 已知x、y∈R+，且x2+y2+xy=x+y，则x+y的最大值为_________.

解析：条件中有x2+y2、xy、x+y三种结构，结论是求x+y的最大值，思考将条件中的另两种结构x2+y2、xy转化为x+y，建立一个关于x+y的不等式.

x+y=x2+y2+xy=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y）2.

评析：运用基本不等式求最值，题目中条件与结论的结构不容忽视，寻找两者间的异同点，由条件向结论靠拢，并保留条件中与结论相同的结构，消除（转化）条件中与结论不同的结构.使用此法求解时，可能要作多种尝试.

6.整体换元

基本不等式是课本上的基本内容，貌似平淡，意蕴不凡，本文以课本中的探究为例展示了其精彩的应用，可见教材中的很多内容都具有迁移性，它们是数学试题不断创新的源泉，积淀着解决问题常用的一些重要的数学方法.在教学中，我们应该重视对教材基本知识潜在的智能价值的挖掘与探究，不断激活教材，激活学生的思维.A

*本文系江苏省教育科学规划“十二五”重点资助课题《基于问题生成的动态课堂的实践研究》（课题编号：B-a/2011/02/05）的研究成果之一.