实系数一次方程实根分布问题探微——兼谈主元法

☉北京理工大学附属中学何拓程工作室 王洪希

实系数一次方程实根分布问题探微
——兼谈主元法

☉北京理工大学附属中学何拓程工作室 王洪希

一、问题的提出

众所周知，实系数二次方程实根分布的理论，是中学数学的一个重要内容，它充分体现了函数与方程的思想，以及数形结合的方法，在求解数学问题时有着十分广泛的应用，应引起大家的普遍重视.那么实系数一次方程，它的实根分布问题，有哪些结论呢？这些结论的理论基础是什么？在教学过程中又有哪些作用？本文就此作一点探讨，供大家参考.

二、实系数一次方程实根分布的内容

定理1：设有实系数一次方程f（x）=ax+b=0（a≠0），m、n∈R且m＜n，运用一次函数的图像及其单调性，易知：方程f（x）=0在区间［m，n］上有解的充要条件是f（m）f（n）≤0.

特例：（1）方程f（x）=0在区间（-∞，n］上有解的充要条件是af（m）≥0；

（2）方程f（x）=0在区间［n，+∞）上有解的充要条件是af（n）≤0.

若将区间改为开区间，只要将命题中的不等号改为相应的严格不等号即可.

三、实系数一次方程实根分布的理论依据

一般地，对于函数f（x），如果存在实数c，当x=c时，若f（c）=0，那么把x=c叫做函数f（x）的零点.解方程即可求出f（x）的所有零点.

假定f（x）在区间（x，y）上连续，先找到a、b属于区间（x，y），使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点，然后求现在假设f（a）＜0，f（b）＞0，a＜b①，如果，该点就是零点.如果，则在区间内有零点，用a替换从①式开始继续使用中点函数值判断.如果则在区间）内有零点，用b替换从①式开始继续使用中点函数值判断.这样就可以不断接近零点.

通过每次把f（x）的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法.显然，二分法是实系数一次方程实根分布的理论依据.

四、实系数一次方程实根分布的应用价值

实系数一次方程实根分布的应用非常广泛，其主要特征是对本来很复杂的关系式作线性代换，这样再变换主元，利用主元法，转化成一次方程的实根分布问题来解决.所谓主元法，就是在一些数学问题中，含有常量、参量和变量（统称为元素），在这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，我们在解题时把这个元素看作主元.根据具体条件，从不同的角度出发，选出主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法.我们从解不等式、证明不等式、求函数值域或最值、确定参数的取值范围等方面，借助主元法，利用函数和方程的数学思想，探究实系数一次方程实根分布的应用价值.

1.解不等式

因为x≠0，0＜μ＜1，所以f（μ）=0在区间（0，1）上有解.

由定理得f（0）·f（1）＜0，即（1-x2）（x+1-x2）＜0，所以

2.证明不等式

有些不等式的证明，通过适当的变形，可以转化为关于某个变量的一次式，也就是利用主元法，运用实系数一次方程的实根分布定理来实现证明，亦有独到之处.

例2已知关于x的实系数二次方程x2-ax+b=0有两个实数根α，β，证明：如果那么

分析：这是一道灵活性与综合性都很强的高考压轴题，证法颇多，运用实系数一次方程的实根分布定理来证明，特别是对新主元的选择，确有独到之处，令人耳目一新.

3.求函数值域或最值

运用方程的观点审视函数关系式，借助于一次方程在某区间上有解的条件，构造关于y的不等式，通过解不等式确定函数的值域或最值，开辟了求解函数的值域或最值问题新途径.其中变换主元是关键的一步.

分析：通过对已知函数式的变形，不难运用观察法求出其值域，下面借助实系数一次方程的实根分布定理解这个问题，也很简捷.

因为y≠3，μ≥0，所以关于μ的一次方程f（μ）=0在区间（0，+∞）上有解.由定理得（y-3）·f（0）≤0，解得1≤y≤3.因为y≠3，所以函数的值域为｛y|1≤y＜3｝.

4.确定参数的取值范围

确定参数的取值范围，是中学数学中涉及颇丰的一类问题，解法很多.选择适当的主元，运用实系数一次方程的实根分布定理建立参数所满足的不等式，通过解不等式求出参数的范围，有章可循，易于操作，值得提倡.

分析：本题的难点在于，自变量x与函数f（x）的联系多了三角函数这一层关系，如何变换主元，构造出关于主元的一次函数关系式是本题的突破口！

解：令sinx=t，则f（x）=g（t）=at+2a+1，t∈［-1，1］，于是问题转化为：方程g（t）=0在（-1，1）上有解，求a的范围.

显然a=0不合题意，故a≠0，方程g（t）=0是t的一次方程，由定理得f（-1）·f（1）＜0，即（-a+2a+1）（a+2a+1）＜0，解得即实数a的取值范围是

五、实系数一次方程实根分布问题的再思考

在研究实系数一次方程实根分布问题时，我们注意到这类问题总是和“有解”联系在一起，那么，数学中另一类重要问题——恒成立问题，是否也可以进行类似的研究？或者说，能否将上述定理进行合理的推广，使之对恒成立问题也能行之有效？笔者作如下思考：

定理2：设有实系数一次函数f（x）=ax+b（a≠0），m、n∈R且m＜n，运用一次函数的图像及其单调性，易知：函数f（x）在区间［m，n］上恒有f（x）＞0的充要条件是f（m）≥0且f（n）≥0.

特例：（1）方程f（x）在区间（-∞，m］上恒有f（x）＞0的充要条件是a≤0且f（m）≥0.

（2）方程f（x）=0在区间［n，+∞）上恒有f（x）＞0的充要条件是a≥0且f（n）≥0.

若将区间改为开区间，只要将命题中的不等号改为相应的严格不等号即可.

定理2称之为一次函数的保号性.对解决许多数学问题，优化解题思路，开辟解题捷径，有其独特的作用.

1.证明不等式

分析：按常规思路，从比较法或分析法或综合法等入手，很难奏效.若以其中某一字母为主元，即变换成一次函数，运用一次函数保号性，问题立即化难为易，变繁为简.

证明：（1）要证ab+bc+ca+1＞0，即证明（b+c）a+bc+1＞0.以a为主元，构造函数f（a）=（b+c）a+bc+1，由定理2知：

①当b+c=0时，f（a）=bc+1=1-c2（由得c2＜1），原不等式成立.

（2）要证abc+2-a-b-c＞0，即证（bc-1）a-b-c+2＞0.

2.求参数范围

分析：本题中，m为参数，x为主变元，按常规方法，需要分log2m=1与log2m≠1两种情形分别研究log3x的一次函数、二次函数取正值的条件，十分烦琐.若以log2m为主元，将参数升格为主变量就可以借助一次方程实根分布问题来研究，可使问题的解答变得简捷而明快！

解：设t=log2m，a=log3x.

由1≤m≤2得0≤t≤1，视t为主元，将原式改写为t的函数，即y=F（t）=（a2-6a+1）t-a2+1，此为关于t的零次或一次函数，由图像易知：

（1）当a2-6a+1=0时，存在a=3-使y＞0.

（2）当a2-6a+1＞0时，由定理2知，y＞0的条件是

六、启示与体会

从上述研究不难看出，实系数一次方程的实根分布理论，虽然十分简单浅显，但是在解题中的作用却不可低估.它不但可以使得许多问题的求解直观简洁，富有新意，而且对于培养学生运用函数与方程，以及数形结合等思想方法解题的意识大有裨益.我们从中得到的启发和体会是：首先，越是简单的观点、方法和技巧，往往越会发挥大作用.因此，在教学中，要注意引导学生重视对基础知识的学习和掌握，学会运用简单的观点分析、处理、解决问题，提高学生的解题能力.其次，科学的类比可以使我们的结论更加接近真理，类比猜想可以丰富人们直觉思维中的“知识组块”，训练人们的直觉类比能力.所以重视类比的指导和研究不仅能培养学生的直觉思维和创造思维的能力，而且更重要的是能提高学生的科学创造力.