☉湖北省孝感高级中学 姚继元
巧用三面角求二面角
☉湖北省孝感高级中学 姚继元
二面角是立体几何的重要内容,是历年各省份高考的重点,然而我们发现学生在学习的过程中掌握的情况并不理想.几何法虽然很直观但是二面角的平面角很难作,而用向量法运算量较大且在判断法向量的方向时容易出错.现在有一种较为简洁、易操作的方法.
定理:如图1,空间中有从O点出发的三条射线OA、OB、OC(OA、OB、OC不共面),∠AOC=α,∠BOC= β,∠AOB=γ,二面角A-OC-B为θ(注:由三个面构成的多面角称为三面角,图1中的三面角可记作∠O-ABC),则
图1
证明:在面AOC内作AD⊥OC交OC于D,在面BOC内,作DE⊥OC交OB于E.
则∠ADE即为二面角A-OC-B的平面角,即∠ACB= θ.设OD=a.
上述定理在实际解题中有广泛的应用,下面我们通过几个例子来看一看.
例1(2013年高考全国大纲版理科第19题)如图2,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求二面角A-PD-C的大小.
分析:本题中的二面角为钝角二面角,使用三垂线定理作平面角主要适合二面角为锐角的情况,而本题建立坐标系也不太容易,此时使用定理来解决问题就得心应手.
图2
解:(1)略.
(2)设AB=1.由(1)知CD⊥PD.
例2(2013年高考浙江卷理科第20题)如图3,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.
分析:本题为已知二面角求其他角,逆用定理即可.
解:(1)略.
图3
例3(2014年高考辽宁卷理科第19题)如图4,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
解:(1)略.
(2)由△ABC和△BCD所在平面互相垂直,得二面角A-BC-D为90°的二面角.
∠ACB=∠DCB=30°.
利用公式,有cos∠ACD-cos∠ACB·cos∠DCB=0(定理的逆用),则cos∠ACD=
图4
从上面的几个例题我们不难发现:定理在处理二面角问题时思路比较简单,既避免了作二面角的平面角,又可以很快地算出具体结果.当然,我们对上述定理加以挖掘,也可以处理线面角和点面距等问题.
1.人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学必修2.北京:人民教育出版社,2007.
2.叶国祥.三面角的余弦定理及其应用[J].中学数学,1993(6).