由质疑，到提升，直达问题本质

☉江苏省如皋市吴窑初级中学 张素慧

由质疑，到提升，直达问题本质

☉江苏省如皋市吴窑初级中学 张素慧

“科学研究是拨开事物表象，获得其本质的过程”，数学教学也应如此，应注重引导学生经历质疑、探究的过程，逐步培养探求问题本质的意识.

在听课调研中发现，解题教学多满足于问题解答，解题总结的重点多为解题思路探寻、解题过程中需注意要点细节，以及对所用知识点、方法的归纳，常见变式训练又多侧重于问题变形，却常常忽略了对问题本质的深层次探究和思考.笔者认为，解题反思环节应适当、适度着手引导学生学会质疑，提出问题，经历一定探究问题本质的探究活动，这将有助于帮助学生高屋建瓴、深刻理解数学问题，理解数学学习方法，更有助于培养学生良好的思维品质和学习习惯.下面略举二例，探索在解题教学反思中质疑、探究问题本质的方法.

图1

例1如图1，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D.

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值.

解析：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m.又△ABC为等腰直角三角形，所以AC=BC=m，OA=m-3，所以点A的坐标是（3-m，0）.

（2）因为∠ODA=∠OAD=45°，所以OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）.

又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，

（3）如图2，过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，设点Q的坐标是（x，x2-2x+1），则QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x.因为QM∥CE，所以△PQM∽

图2

质疑1：此题证明了FC（AC+EC）为定值8，那么这一结论是仅仅对抛物线y=x2-2x+1成立，还是适用于所有的二次函数，这一结论中的定值8是由哪些因素决定的？

由于平移二次函数y=x2-2x+1的图像到y=x2，并不影响题中FC、BC、EC等线段的长度，当然也不会影响到FC·（BC+EC）的值，因此，原问题的本质相当于研究下面的问题：

如图3，P为抛物线y=ax2的顶点，点B为抛物线y=ax2上的定点，坐标为（m，am2），BC⊥x轴于点C，点Q为抛物线上点P至点B之间的一个动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC·（BC+EC）为定值am3.

证明：因为点B坐标为（m，am2），所以PC=m，BC=am2.过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（k，ak2），则QM=ak2，PM=k，MC=m-k.

图3

因为FM=FC-MC=FC-（PC-PM）=FC-（m-k）=k-m-

所以FC（BC+EC）为定值am3.

不难发现，问题可以推广到更一般的形式：若设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k，B为抛物线上的定点（m，n），过顶点P作对称轴的垂线，过点B作对称轴的平行线与过顶点P的对称轴的垂线相交于点C，则FC（BC+ EC）的值与二次函数的二次项系数a和定点B的横坐标有关，恒为am3，与二次函数解析式中h、k的值无关.

证明从略.下文质疑探究立足于研究抛物线y=x2展开.

利用几何画板进行探索，当点Q在抛物线上移动的时候，分析图形形状，不难发现，原题证明中的基本图形依然存在，因此，上述结论的证明方法与前面相同，可以发现有下面的结论，证明从略.

（1）若动点Q在B点的右边时，如图4，结论FC（BC+ EC）为定值依然成立，定值为am3.

图4

图5

（2）若动点Q在P点的左边时，如图5，结论FC（BC+ EC）为定值不成立，B点关于对称轴的对称点记做点H，有：

①则当动点Q在抛物线上点P与点H之间的时候，FC（BC-EC）为定值，定值为-am3.

②当动点Q在抛物线上H点的左边的时候，FC（ECBC）为定值，定值为am3.

这一结论可以统一成：点B、Q在对称轴的同侧，则FC·（BC+EC）为定值，如果B、Q在对称轴的异侧，则FC· |BC-EC|为定值，定值都为|am3|.

质疑3：和其他常见的定值问题相比，FC（BC+EC）这个式子比较复杂，意义不明显，那么问题FC（BC+EC）的几何意义是什么？

这种是传统电子商务转型社交电子商务的常用方法。采用该模式的商家本身就是做电子商务的，在自己原有的网站平台上开辟社区，引导商家与客户，客户与客户之间的沟通交流，从而增加客户粘性，提高购买率。比较典型的有淘宝里面的微淘、淘直播、淘达人等。

注意到FC（BC+EC）=FC·BC+FC·EC，而BC⊥AC，从而联想到直角三角形的面积.如图6，作点E关于直线AC的对称点N，有CE=CN，BN=BC+CN=BC+CE，则FC（BC+ EC）=2S△BFN，而这就是问题的本质所在，“FC（BC+EC）为定值”只是“S△BFN为定值”的另一种表示.

利用几何画板进一步探究，可以发现“当点Q在抛物线上移动时，S△BPF=S△FEC恒成立”.下面仅仅证明点Q在抛物线y=ax2上点P与点B之间的情况.

图6

例2如图7，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C.若点C的坐标为（0，2），AB=5，A、B两点的横坐标xA、xB是关于x的方程x2-（m+2）x+n-1=0的两根.

（1）求m、n的值.

（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式.

（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA、CB（点C除外）于点M、N.是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

图7

质疑：注意到第（3）问的解答过程既没有用到第（1）问m、n的数值，也没有用到第（2）问中所求的直线l′的解析式，更重要的是没有用到直角坐标系相关知识，而这和一般的综合题型“问题串”的设置很不一样，为什么？那么是不是说第（3）问的答案与第（1）、（2）问无关，是否可以猜测第（3）问在本题中具有较大的独立性？带着这样的疑惑再分析第（3）问的证明，发现整个证明过程并没有涉及A、B的坐标，已知条件“△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C”，即“∠ACB为直角”在第（3）问的解答中也没有起到任何作用.条件“D点为∠ACB平分线上一点”才是问题最核心、最本质的东西.基于以上分析，去除与本题解答无关的条件，就可以发现问题（3）的本质为：

如图8，D点为∠ACB平分线上一定点，过点D任作一直线l′分别交射线CA、CB（点C除外）于点

图8

因为当D点和∠ACB给定时，CE、DE为定值，与直线MN的具体位置没有关系，所定值.有了这一结论，再回头解决问题（3）就不是难事了.

解题反思1：如何质疑？很多数学课堂上学生提不出问题，不会质疑，更多的是一种接受性的听讲、记忆、模仿，造成这种现象的原因是多方面的，有老师的，有学生的，有习惯的问题，也有能力的问题，但数学课堂上缺乏这方面的启发、培养，却是无法推卸的重要的原因之一.这就要求解题教学中，要求学生在理解、接受怎样做的同时，还需要引导、启发学生思考本题为什么要这样做，解题思路是受什么启发想到的，思考问题解决采用的解题方法是不是最好的，能不能进一步优化，问题中的条件是否必要，结论是否唯一，问题是否可以进一步变形、拓展，对于教师尤其是需要思考问题的原型、本质是什么，问题被充分解决了没有，还有哪些值得做进一步研究和思考的等，从诸多方面、很多的角度都可以引导学生进一步思考.例1、2展示了一个视角，均是不满足于问题解答，而是注重解题后的反思，思考结论的相关条件是否充分，是否必要，从而将问题的思考深入到了问题的本质，或者说，接触到了问题构造的出发点，问题得到了较为完满的解决.

解题反思2：如何探求问题的本质？本文只是对两个例题做了一些尝试，抛砖引玉.例1中从三个质疑出发做了进一步的探究，从三个方面思考、探究了问题的一些本质特性，这三个方面分别是：（1）函数从具体到一般，即从具体的函数关系猜想对于任意函数，思考函数中各常数（系数）与结论的关系；（2）动点位置取消范围限制，从局部变化到整体变化，全面分析动点位置对结论的影响；（3）结论从表层到本质，从具体值到用字母表示的一般规律，揭示出了确定结论的相关量.它们都体现了从特殊到一般的数学思想，对此学生并不陌生，解题分析和解题反思如果能够引导学生思考问题的一般形式，实现从特殊到一般的思考、探究解题思路，进一步体会特殊、一般的辩证关系，对培养学生的辩证思维是有益处的.

例2中，抛开了与第（3）问无关的因素，从而抽丝剥茧排除干扰信息，直接深入研究了问题的本质，可以说原问题是在图8结论基础上附着一些新的元素而发展得到的新问题.事实上，在中学数学学习中，常常可以见到一些问题，乍一看条件烦琐图形复杂，致使学生首先产生严重的畏缩心理，以至于有些学生连题目都无心去看完，更无从谈起分析解答.即便部分学生勉强读完题，却因为无法从长段题干和纷杂图形中排除无用条件、信息干扰，无法梳理主要信息之间的联系，以致无从下手，或错误频频.这就需要在解题分析和教学反思中，引导学生抽丝剥茧、删繁就简，或紧扣定义和基本定理，或紧扣图形、解答中的“核心、本质”条件和图形、信息，摒弃无用条件和干扰因素，直达问题本质，从而达到增强学生探寻问题本质的习惯与能力的目的.

例如，在遇到三个圆两两相外切的问题，学生多因为无法作出符合题意的图形而放弃问题，实质上圆外切的本质是“外切两圆的圆心距等于半径之和，而与具体的圆无关”，因此问题解答根本没有必要做出“三个圆两两相外切”的图形即图9，只需要作出三个圆心构造的三角形，如图10，紧扣圆外切的定义、性质直接得到图10中三角形的三边与三个相互外切的圆半径之间关系就可以了.在这样的分析中，由于紧扣问题的核心本质，摒弃相对较弱的无用信息圆，不仅表现在图形简单，易于作出，而且更加突出了核心信息之间的联系.

图9

图10

显然，通过问题解答后的深入反思，提出问题，探究解决，这种质疑、探究问题的本质的教学思路，对学生和教师有着较高的要求，但值得在教学中做适当适度的尝试和努力，也具有很好的实际意义和价值，对于培养学生基本的科学素养、应有的探究意识和能力也是至关重要的，这也可以很好地回答“有没有必要深入探求问题的本质”这样的疑惑，这也是数学课程必须肩负的责任，不容逃避、忽视.H