利用空间向量解决开放性、探究性问题

应用空间向量这一工具解决开放性或探究性问题，比用纯立体几何方法方便灵活，也体现了向量法解题的优越性. 这种能很好地考查学生的发散思维和探究学习的能力的试题是近年各地高考试题的一大亮点.

用空间向量处理探究性问题，无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断. 在解题过程中，一般是利用坐标待定法或比值待定法，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等. 所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.

例 如图25，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD.

图25

（1）从下列①②③三个条件中选择一个作为AC⊥BD1的充分条件，并给予证明：①AB⊥BC；②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形.

（2）设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD1与平面BC1D1所成锐二面角θ的取值范围.

破解思路 第（1）问应从三个选项中逐一选择作为条件，并把线线垂直的证明转为线面垂直来证，最后推得AC⊥BD1；第（2）问先确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求解. 要注意∠BAD为锐角的条件.

答案详解 （1）条件②“AC⊥BD”可作为AC⊥BD1的充分条件. 证明如下：因为AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD. 因为AC？奂平面ABCD，所以DD1⊥AC.若条件②成立，即AC⊥BD，因为DD1∩BD=D，所以AC⊥平面BDD1. 又BD1？奂平面BDD1，所以AC⊥BD1.

（2）由已知得ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 设AC∩BD=O，O1为B1D1的中点，则OO1⊥平面ABCD，所以OO1，AC，BD交于同一点O且两两垂直. 以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图26所示.

设OA=m，OB=n，其中m>0，n>0，m2+n2=1，则A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C1（0，m，1），D1（-n，0，1）， =（-n，m，1）， =（-2n，0，1）.

图26

设n=（x，y，z）是平面BC1D1的一个法向量，

由n· =0，n· =0得-xn+ym+z=0，-2xn+z=0.令x=m，则y=-n，z=2mn，所以n=（m，-n，2mn）. 又易得 =（0，2m，0）是平面BDD1的一个法向量，所以cosθ = = = = .

令t=n2，则m2=1-t，因为∠BAD为锐角，所以0

1. 已知某几何体的直观图和三视图如图27所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

图27

（1）证明：BN⊥平面C1B1N.

（2）设直线C1N与平面CNB1所成的角为θ，求sinθ的值.

（3）M为AB的中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.

2. 如图28，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥平面D1AC.

图28

（1）求二面角E-AC-D1的大小；

（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P ∶PE的值；若不存在，说明理由.