空间角和距离问题,是高考命题的重点内容,几乎每年必考.在选择题、填空题中,线线角主要考查线段的平移,线面角关键是寻求直线在平面上的射影,二面角的难点是准确作出平面角;在解答题中,多数问题用空间向量来解决,需用到方程、三角函数、平面几何等知识,属于中高档题.
(1)理解两条直线所成角(线线角)、直线与平面所成角(线面角)及两平面所成角(二面角)的概念,灵活掌握三种角的常规作图与求解方法.
(2)能够建立恰当的空间直角坐标系,掌握“方向向量”与“法向量”的求解方法,并灵活运用向量公式求三种角.
(3)掌握求空间距离的几种方法.
利用空间向量解决立体几何问题,主要有两种策略. 一是建立空间直角坐标系,把立体几何的平行、垂直、空间角、距离等问题转化为“点”及“线”的坐标运算问题. 其一般步骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论. 二是不建立空间坐标系,直接利用空间向量的基本定理,即将有关向量用空间中的一组基底表示出来,然后通过向量的相关运算求解.
例1 如图17,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD= ,∠DAB=90°,E为CC1的中点,则直线AC1与D1E所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
破解思路 对关于空间角的选择题或填空题,由于计算量的限制一般不宜用坐标法处理;又本题不易确定空间坐标系的位置,所以采用向量基底法处理.
图17
答案详解 设 =a, =b, =c,则a=b=1,c=2. 又 =a+b+c, =a- c,且a·b=0,a·c=1,b·c=1,所以 · =-1, = , =1. 设直线AC1与D1E所成角为θ,则cosθ= = = . 所以选B.
例2 如图18,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH.
图18
(1)求证:AB∥GH;
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值.
破解思路 棱锥是常考的多面体,第(1)问考查线线平行关系的判定,图形特征明显,容易证明;第(2)问构造二面角的平面角有一定困难,所以要选择恰当的位置建立空间直角坐标系,用向量法求解.
答案详解 (1)因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB,所以EF∥DC.
又EF?埭平面PCD,DC?奂平面PCD,所以EF∥平面PCD.
又EF?奂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH. 又EF∥AB,所以AB∥GH.
(2)在△ABQ中,因为AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ. 又PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.
以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设BA=BQ=BP=2,则B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以 =(-1,-1,2), =(0,-1,2).
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则由n· =0,n· =0可得-x-y+2z=0,-y+2z=0.取z=1,得n=(0,2,1). 又 =(0,2,0)为平面PAB的一个法向量,所以cos〈n, 〉= = = . 故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为 .
例3 如图19,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC 的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AH⊥平面PBC;
(2)求直线PM与平面AHB所成角的正弦值;
(3)设点N在线段PB上,且 =λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值.
图19
破解思路 本题考查同学们的空间想象能力和思维能力,属于中高档题. 题目有明显的垂直关系,所以第(2)问和第(3)问可以通过建立空间直角坐标系来解决,其中处理第(3)问时,相关点的坐标可通过比值λ来表示,这有助于更好地突破难点并解决问题.
答案详解 (1)因为PA⊥底面ABC,BC?奂底面ABC,所以PA⊥BC.
又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
因为AH?奂平面PAC,所以BC⊥AH.
因为PA=AC,H是PC的中点,所以AH⊥PC.
又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC.
(2)在平面ABC中,过点A作AD∥BC,易得PA,AC,AD两两垂直,所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图20所示的空间直角坐标系,则可得A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M0, , .
设平面AHB的法向量为n=(x,y,z),因为 =(0,1,1), =(1,2,0),由n· =0,n· =0可得y+z=0,x+2y=0.令z=1,得n=(2,-1,1).
设直线PM与平面AHB所成角为θ,因为 =0, ,- ,所以sinθ=cos〈 ,n〉= = ,即sinθ= .
图20
(3)因为 =(1,2,-2), =λ ,所以 =(λ,2λ,-2λ). 又 =0, ,- ,所以 = - =λ,2λ- , -2λ. 因为MN∥平面ABC,平面ABC的法向量 =(0,0,2),所以 · =3-4λ=0,解得λ= .
例4 如图21①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=3,E为BC上一点,BE=2EC,且DE= . 将梯形ABCD沿DE折成直二面角B-DE-C,如图19②所示.
(1)求证:平面AEC⊥平面ABED;
(2)设点A关于点D的对称点为G,点M在△BCE所在平面内,且直线GM与平面ACE所成的角为60°,试求出点M到点B的最短距离.
图21
破解思路 折叠问题是高考经常考查的内容之一. 解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系,所成角及距离加以比较. 第(1)问可利用分析法把证明面面垂直转化为证明线面垂直;第(2)问在第(1)问的基础上确定出三线两两垂直后建立空间直角坐标系,利用向量的数量积运算求解.
答案详解 (1)在图①中,由平面几何的知识易得DE⊥BC;在图②中,因为DE⊥BE,DE⊥CE,所以∠BEC是二面角B-DE-C的平面角. 因为二面角B-DE-C是直二面角,所以BE⊥CE. 因为DE∩BE=E,DE,BE?奂平面ABED,所以CE⊥平面ABED. 又CE?奂平面AEC,所以平面AEC⊥平面ABED.
(2)由(1)知DE,BE,CE两两互相垂直,以E为原点,分别以EB,EC,ED为x,y,z轴,建立空间直角坐标系E-xyz.由已知,得E(0,0,0),A(1,0, ),B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,0, ),G(-1,0, ), =(1,0, ), =(0,1,0).
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),则 ·n=0, ·n=0,即x+ z=0,y=0.取x= ,得n=( ,0,-1).
设M(x,y,0),则 =(x+1,y,- ). 因为直线GM与平面ACE所成的角为60°,所以 =sin60°,即 = ,化简得y2=2x.
从而可得点M到点B的距离MB= = = = ,所以,当x=1时,MB取得最小值 ,即点M到点B的最短距离为 .
1. 如图22,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2 ,则点C到平面PBD的距离为________.
图22
2. 如图23,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点.
(1)求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值;
(2)求二面角B1-DC-C1的余弦值
图23
3. 如图24,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列两问:
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求二面角E-AD-B的余弦值.
图24