品味不等式

荣彩云

【摘 要】数学中的不等式是一个比较常用的解题方法，同时运用不等式也是种简便的解题方法，但运用不等式却是一种技巧，想要熟练的掌握不等式的应用就要多思考、多总结，本文列举了数学中常用的不等式，并通过几个例子对不等式的运用进行了说明。

【关键词】数学分析；不等式；证明

在数学中，不等式不仅仅是一个重要并且有效的工具，也是数学中重要的研究对象。在许多证明和分析的过程中充分的体现了不等式的灵活性和巧妙性，例如在解决三角函数相关问题、求函数最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比较复杂的问题迎刃而解。也正因为不等式的这种多变性，使得不等式在证明过程中不只有一种形式，只有正确的掌握了不等式的运用方法才能使解题更简单。算数平均数与几何平均数及均值定理是不等式这章的难点，如何灵活应用则是难点，本文通过几个例子来具体说明不等式在证明过程中的运用。

一、均值定理的三个条件

用均值定理解题时，必须具备“一正二定三等”三个条件。函数式中，各项必须都是正数。

例如：，不能错误地认为成立，这是因为没有这一条件。

函数式中，含变量的各项的和或积必须是常数，若不是定值，必须进行变形使之变为定值，这也就是灵活应用均值定理这一难点（下文作详细讲解）利用均值定理求最值时，必须能取到等号。

二、灵活应用均值定理

利用均值定理求最值主要考察三个条件中的“二定”，即通过变形达到和或积为定值。

例1：求的最小值。

【分析】因为x2与的积不是定值，故把x2变为x2+1。

解：=

当且仅当即x=±1时等号成立。∴当x=±1时，xmin=1

【点评】在利用积定，求和的最值时，要注意怎样“凑”出积的定值这一过程。

三、均值不等式征服生活难题

1.应用均值不等式解决度量类问题

例1：一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大？最大的面积是多少？

解：设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（36-2x）m，其中0

S=x·（36-2x）

当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园平行于墙的一边为18m，垂直于墙的一边为9m时，菜园面积最大值为162m2。

2.应用均值不等式解决造价费用问题

例1：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低造价是多少元？

解：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为，又设水池的总造价为l元，根据题意，得：

当，即=40时，l有最小值。因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。本题利用这个不等式，简洁方便，清晰明了。

3.应用均值不等式处理决策判断类问题

例1：某养殖场需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，假设养殖场每次均在用完饲料的当天购买。

（1）求该养殖场每多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；

（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该养殖场是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。

解：（1）设该养殖场每x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元.因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元），所以x天饲料的保管与其他费用共是：6x+6（x-1）+…+6=3x2+3x（元），从而有，当且仅当，即x=10时，y1有最小值。每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小。

（2）若该养殖场利用此优惠条件，则至少每25天购买一次饲料，设该养殖场利用此优惠条件，每x天（x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，则：

，

因此。所以当x≥25时，y'>0，即函数y2在（25，+∞]上是增函数.所以当x=25时，y2取得最小值為396，而396<423。因此该养殖场应该接受此优惠条件。

通过以上的例题，我们不难发现均值不等式在生活中的应用只要是和定积大与积定和小两方面的应用，在这其中，又掺杂了二元均值不等式与三元均值不等式在生活中的应用.我们已经应用均值不等式解决一系列问题，但是均值不等式形式众多，变化多样，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值。

参考文献：

[1]黄文.例说均值不等式的应用.数学大世界（高中版），2005，12.40-41页

[2]郑传枝.用均值不等式判断生活中的几个问题.高中数学教与学，2005，2.44-45页

[3]田祥高.教材动态全解（高二数学）.第二版.长春：东北师范大学出版社，2006年