数学“问题解决”教学模式的再认识

邵红刚

寻找“问题解决”能力培养与数学课程教材知识体系学习之间的互补与平衡，形成操作性较强的数学课堂教学模式，可以促进学生的数学意识、逻辑推理、信息交流、思维品质等数学素质的提高，为学生的自主学习、发展个性打下良好基础。“问题是数学的心脏”，在一定的问题情境下，学生可以利用必要的学习材料，借助教师和同伴的帮助，通过意义建构主动获得知识。问题解决能力的培养为学生学习数学知识提供动力，而系统的数学知识体系为问题的解决提供保障。问题解决能力的培养与数学知识体系的建构两者之间的互补与平衡有助于学生认知结构的完善。学生和教师是教学活动中能动的角色和要素，师生关系是互为主体、互相依存、互相配合的，师生双方的主体性在教学过程中都应得到发展和发挥。学生主体作用主要体现在学生的学习活动过程中，教师的主体作用主要体现在对教学活动进行科学认识的过程中，教学过程中教师的主导是发挥主体作用的具体表现形式。

一、问题解决的目标

1.“问题解决”课堂教学模式的功能目标

学习发现问题的方法，开掘创造性思维潜力，培养主动参与、团结协作精神，增进师生、同伴之间的情感交流，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。

2.数学问题解决能力的培养目标

能审题——能对问题情境进行分析和综合。能建模——能把实际问题数学化，建立数学模型。能转化——能对数学问题进行变换化归。能归类——能灵活运用各种数学思想和数学方法进行一题多解或多题一解，并能进行总结和整理。能反思——能对数学结果进行检验和评价。能编题——能在学习新知识后，在模仿的基础上编制数学问题。

二、“问题解决”课堂教学模式的操作流程：

1.创设情境

从数学基础知识出发，把需要解决的问题有意识地、巧妙地寓于符合学生实际的基础知识之中，把学生引入一种与问题有关的情境之中，激发学生的探究兴趣和求知欲。

2.尝试引导

学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、问题的解决是否准确等，这就需要教师进行启发引导。可用下述启发引导的方式：重温与问题有关的知识、引导学生对问题进行联想、猜测、类比、归纳、推理等。另外还可以通过组织学生开展小组讨论和全班交流。

3.自主解决

让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自主解决”过程，这就需要教师把数学思想方法的培养作为长期的任务，在课堂教学中加强这方面的培养意识。在操作时对于比较简单的问题，可以让学生独立完成，使学生体会到运用数学思想方法解决问题的快乐。对于有一定难度的问题，应该让学生有充足的时间独立思考，再进行尝试解决。对于思维力度较大的问题，应在学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上，通过合作共同解决。

4.反馈梳理

梳理是把数学知识与技能通过“同化”或“顺应”的机能“平衡”认知结构的必要步骤。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。在概念学习后，以辨析、类比等方式进行小结。问题解决后对解题过程进行回顾与反思，回顾问题被解决过程中所涉及的有关知识、解题方法以及理解题意的过程，反思问题开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等。从数学知识、数学思想、学习的启示三个层面进行课堂小结。下面是使用上述操作程序在教學中实施的一个案例：

为了引导学生考虑如何解决“曲线上的动点到定点（或定直线）距离的最值”问题，首先提出如下范例。点P在椭圆上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离|AP|的最大值。

引导学生通过分析为了求|AP|的最大值可以通过代数方法消去一个变量而得到如下两种解法：

解法一：设P（），

则≤1，则

当时，|AP|最大值=。

解法二：设P，则

|AP|2=

当时，|AP|最大值=。

问题1：引导学生可对题中哪些元素进行变动，引起热烈的议论和争论，把同学们想法整理如下：

（a）将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值。

（b）将椭圆改为双曲线，结论改为求|AP|的最小值。

（c）将椭圆改为抛物线，结论改为求|AP|的最小值。

上述问题出现了几个重要的曲线类型，学生通过对这些问题的解决能形成解这类问题的通解通法。

问题2：老师认为上述问题同学们都会了，看看下列问题：

（d）已知动点在椭圆上运动，定点A（a，0）（a>0），求|AP|的最大值。

仿原范例的解法二可得如下解法：

∵|sinθ|≤1，则①当a>3且sinθ=-1时，|AP|最大=a+1，

②当0

（e）动点Q在圆上运动，动点P在椭圆上运动，求|PQ|的最大值。

分析：将圆的方程变为，圆心A（0，2），可将问题转化为求|AP|的最大值。从形转化为数式的角度还可以得到问题（f）。

（f）求函数f（α，β）=（cosα-2cosβ）2+（2+sinα

-sinβ）2的最大值。

分析函数表达式的构成，若设动点Q（cosα，2+sinα），P（2cosβ，sinβ），则不难发现f（α，β）=|PQ|2用数形结合的观点，将问题转化为（e）来解决。

问题3：归纳、综合提高：

（g）设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率，点P在此椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值为，求椭圆的方程，并求|AP|取最大值时点P的坐标。

（h）设椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，曲线A的方程为，若动点P，Q分别在曲线E、A上，且|PQ|的最大值为1+，求椭圆E的方程。并求当|PQ|取最大值时，点P、Q的坐标。

小结：（g），（h）分别是范例与（e）的逆命题，在（h）中运用平几知识求Q点坐标比较方便，要注意运用平面几何知识解决有关问题。

若将椭圆变成抛物线或者双曲线，将最大值改为最小值，或者再将定点A与⊙A改成直线，又可得到若干新的问题在此不作一一赘述了。以上由一个典型范例“中心开花”，然后或改变条件，或改变结论，得到一系列变式问题。让学生在解决这一类问题的过程中，总结出曲线上动点到定点的最值问题的一般解决方法，并从中掌握有关数学思想。上述问题解决教学流程对学生掌握数学思想方法，提高解题能力具有优越性，但毕竟还局限在教师的指导下学生进行有效思索。更高层次的是将问题开放，将问题中的条件、结论、解题依据或方法等组成问题的四个基本要素中的二个或三个形成未知，使条件不完备，答案不确定。这有赖于教师的教学设计，提供背景，设疑激思，析疑解难，释疑反思，体现了教师在教学中的“导”。其作用可以使主体（学生）能动态的分析可能的条件与面临的问题之间的复杂关系，要求主体参加问题的建构与引申，因而要解决它就不仅需要逻辑思维，还常常需要形象思維与直觉思维的积极参与。其具体的流程图为：

在上述问题的解决过程中，教师从学生解决问题的过程中也有意外的收获：在上述的问题（c）中，当学生用常用的方法解决后有几个学生提出这样的想法：可否先假设动圆，令其与抛物线相切，两式消去x后可得关y的二次方程，再由判别式△=0，求出r值，则最小值就是r。

几乎没有其他学生对这个学生的想法不表示肯定，于是教师要学生试一下：

学生：……消去x得方程y2+5y+（（4-r2）=0）令判别式△=O，得9+4r2=0。

但r居然无解！……

这时，学生觉得不可思议。于是教师可给学生提出一系列的研究性问题：

（1）这个学生的想法是否错了？

（2）“判别式△=O”是否一定是圆和抛物线相切的充要条件？

（3）把抛物线方程换成“x2=2y”，再用上面两种解法试一下，行不行？

（4）你能否对课堂上未完成的解法给出修改或补充？

（5）你能否探索出“当抛物线x2=ay与圆x2+（y-2）2=r2相切时，a与r应满足的关系或条件？

以“问题、探究、交流、反思”为主线的运用“问题解决”课堂模式的教学，要求教师的课堂教育思想和观念从“灌输型”向“启发探究型”转化。学生的学习方式从“接受性学习”向“研究性学习”转化。师生关系从“从属型”向“平等型”转化。基础性的数学知识体系的构建可以通过“发现问题——分析问题——解决问题”的研究性学习方式来实现。

参考文献：

[1]徐彦辉.数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出[J].数学教育学报，2015，1（3）：9