求圆锥曲线中的最值，勿忘“定义”

傅建红

圆锥曲线的定义是对圆锥曲线本质特征的深刻揭示，利用它来解决与圆锥曲线焦点或准线相关的问题时，常可优化解题思路，化难为易、变繁为简.本文利用定义探讨圆锥曲线中形如“PA±PB（其中P为圆锥曲线上的动点，A，B为‘给定的两点）”形式的几何最值问题，针对A，B两点的不同“给定”，分如下三种情形予以说明，供参考.

A，B两点均为动点

例1 如图1，点P在曲线C1：+=1上，点A在曲线C2：（x-8）2+y2=1上，点B在曲线C3：（x+8）2+y2=1上，则PA+PB的最小值是________.

破解 如图1，由于P，A，B三点均为自由动点，所以（PA+PB）min=PAmin+PBmin. 先将P点“固定”（暂时看做定点），则当A点在圆C2上运动时，易知PAmin=PC2-1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA+PB）min=PC2+PC3-2. 注意到两圆的圆心C2，C3恰为椭圆C1的左、右焦点，由椭圆的第一定义知：PC2+PC3=2a=20（不论P点如何运动），所以PA+PB的最小值是18.

变式1 如图2，点P在曲线C1：-=1上，点A在曲线C2：（x-5）2+y2=1上，点B在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则PA-PB的最大值是_____.

破解 如图2，由于P，A，B三点均为自由动点，所以（PA-PB）max=PAmax-PBmin. 先将P点“固定”（暂时看做定点），则当A点在圆C2上运动时，易知PAmax=PC2+1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA-PB）max=PC2-PC3+2.

注意到两圆的圆心C2，C3恰为椭圆C1的左、右焦点，由双曲线的第一定义知：当P点在双曲线左支上时，PC2-PC3=2a=8（不论P点如何运动），所以PA-PB的最大值是10.

点评 例1与变式1均涉及圆锥曲线上一动点与两已知曲线（圆）上动点的距离之和（差）的最值问题. 解决此类多动点问题的方法是“局部固定、动静转换”，即先将某一动点“固定”，求出其他动点运动时的最值情形，然后“恢复”固定点作为动点的“本质”，对已求出的最值继续求最值，即可解决.

本情形由于PC2-PC3为定值，故实际只求了一次最值.

链接 设P为圆C上动点，A为圆外一定点，直线AC与圆C依次交于E，F两点（E在A，C之间），则APmax=AF=AC+r，APmin=AE=AC-r（其中r为圆C的半径）.

A，B两点一定一动

例2 如图3，点P是抛物线y2=4x上的一点，A为抛物线的焦点，B在圆C：（x-4）2+（y-1）2=1上，则PA+PB的最小值为________.？摇

破解 如图3，过P点作抛物线的准线l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义知PA=PH. 易知圆C在抛物线的内部，先固定抛物线上的P点，则当B在圆上运动时，易知PBmin=PC-1，从而当P运动到C，P，H三点共线时，PA+PB的最小值为4.

变式2 如图4，设B为圆C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l，若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+PB的最小值为________.

破解 如图4，设抛物线的焦点为A，由抛物线的定义知m=PA，所求m+PB=PA+PB. 先固定抛物线上的P点，则当B在圆上运动时，易知PBmin=PC-2，从而当P运动到C，P，A三点共线时，m+PB的最小值为AC-2=-2.

点评 例2与变式2均涉及抛物线上一动点与一已知曲线（圆）上动点及一定点（焦点）的距离之和的最值问题. 解决此类问题的方法仍是“局部固定、动静转换”，即先“固定”P点，对B点的运动求最小值，然后“释放”P点，对已求出的最小值整体再求最小值，即（PA+PB）min=（PA+PBmin）min. 具体求最值时，除了利用抛物线定义，将动点到焦点的距离与其到准线的距离进行转化以外，还需结合几何最值的方法，方可最终解决.

A，B两点均为定点

例3 如图5，已知A（1，-3）为椭圆+=1内一点，B为椭圆的右焦点，P为椭圆上一动点，则PA+PB的最大值与最小值分别为________.

破解 如图5，设椭圆的左焦点为B1，由椭圆定义可得PA+PB=PA+2a-PB1=2a+PA-PB1. 因为PA？摇-PB1？摇≤AB1，所以-AB1≤PA-PB1≤AB1. 因为2a=10，AB1=5，所以当椭圆上P点运动到线段AB1的延长线上时，（PA+PB）max=15；而当P点运动到B1A的延长线上时，（PA+PB）min=5.

变式3 如图6，已知点A（3，8）为椭圆+=1外一点，B为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则PA-PB的最大值与最小值为________.

破解 如图6，因为A点在椭圆外，所以当椭圆上P点运动到AB的延长线上时，（PA-PB）max=AB=10. 设椭圆的右焦点为B1，由椭圆定义可得PA-PB=PA-（2a-PB1）=PA+PB1-2a，则当P点运动到线段AB1上时，（PA+PB1）min=AB1=8，所以（PA-PB）min=-2.

点评 例3与变式3均涉及圆锥曲线上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题.此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决（如例3和变式3中差的最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值（最大或最小）时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法（如变式3中差的最大值），具体属于哪一类型，应视定点在圆锥曲线内、外的给定情况而定.

链接 设A，B为两定点，P为一动点，则当P点在线段AB的延长线上时，（PA-PB）max=AB；当P点在线段BA的延长线上时，（PA-PB）min=-AB.

综上可知，对于形如“PA±PB”形式的几何最值问题，不论A，B的“给定”情况如何，只要涉及焦点或准线，就可尝试使用定义法来解决. 以下两点对于解题至关重要：

（1）在涉及多个动点时，可采用“以静制动”的策略，将动点分批处理、各个击破；

（2）在涉及圆外一点与圆上动点的距离时，可把圆上动点转化为定点（圆心）来解决. 当然，问题的最终解决离不开几何最值法（如上链接）的协助. 最后值得一提的是，上述形式的几何最值问题中，只使用了圆锥曲线的第一定义，但当涉及形如“PA+PB（e为圆锥曲线的离心率）”形式的最值问题时，则可尝试使用第二定义来解决，本文在此不再赘述.endprint