经典品读：探索“源与流”，使圆锥曲线复习更高效

蔡振树

“年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同”，几乎每年的高考试题都会成为大家关注的焦点. 当然，研究试题也有利于发现问题考查的本质，有利于更好地指引学习. 留心分析，我们会发现许多试题是立足于基础，源于教材，高于教材的. 教材是高考命题的主要载体之一，尤其是一些考查圆锥曲线性质的试题来自于教材中的例题、习题，通过推广、引申，这些题可得到更一般的性质，这也是考试命题的重要切入点.

课本习题探究，引发思考

在高中课本《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》人教A版介绍了这样两个问题：

第2.2节例3：如图1，设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

第2.3节探究：如图2，设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状. 与2.2例3比较，你有什么发现？

这是一道求解轨迹的问题，但若轻易放弃对问题的进一步探究，就会错失教材本有的示范功能，自然就领悟不到课本编写的意图. 尤其是研究近年高考试题，我们可以发现试题与课本是有关联的，因而通过有针对性的变式探究、拓展、改造，注重知识间的联系，深刻体会其中蕴涵的数学思想方法，会使得学习达到事半功倍的效果.

归纳概括，得到一般性质

在对上面两个课本问题的探究中，通过将问题一般化，我们可以得到一系列圆锥曲线相关的性质.

性质1 设A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）（或（0，-a），（0，a）），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是-或-，则点M的轨迹是椭圆，其方程为+=1（x≠±a）或+=1（x≠0）.

证明（只证其中一种情况）：设M（x，y），则kAM=，kBM=，所以kAM·kBM=·==-，即+=1（x≠±a）.

性质2 设A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）（或（0，-a），（0，a）），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是或，则点M的轨迹是双曲线，其方程为-=1（x≠±a）或-=1（x≠0）.

证明同性质1的证明，从略.

这是两个被称为“第三定义”的圆锥曲线性质，笔者在对近年高考试题有关圆锥曲线问题的研究中，寻其根源，发现许多试题屡屡涉及对该性质的考查. 习题是课本的重要组成部分，在教学中通过深入挖掘和研究课本习题，将“小题大做”，延伸拓展，归纳概括，揭示本质，是对教材最好的运用，是对新课标课程理念最好的实践，也是研究高考复习的重要学习方法.

典型案例剖析，追根溯源

例1（2011年高考江西卷）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：-=1（a>0，b>0）上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ+，求λ的值.

解析：（1）由性质2可得=，所以=，所以双曲线的离心率e=.

（2）λ=0或λ=-4（过程略）.

例2 （2013年厦门市质检卷）已知椭圆C1：+y2=1.

（1）我们知道圆具有性质：若E为圆O：x2+y2=r2（r>0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB·kOE为定值. 类比圆的这个性质，写出椭圆C1的类似性质，并加以证明.

（2）如图3，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值.

（3）如图4，过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N. 当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

解析：（1）若A，B为椭圆C1：+y2=1上相异的两点，E（x0，y0）为A，B中点，则直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB·kOE必为定值，且kAB·kOE=-（证略）. 此命题考查的思想蕴涵于性质1中，其一般情况就是性质1的逆命题.

（2）（3）略.

上述两例主要考查直线、圆、椭圆、双曲线等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查从一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，考查综合分析问题的能力以及创新能力. 此类问题的考查是高考的热点，其源头来自于教材，这是“源”. 它具有很强的基础性，入口浅，但内涵丰富，是教材习题的深化和提升.

延伸推广，得到进一步结论

实质上，我们若将此类问题加以延伸，可以得到下列性质.

性质3 设A，B的坐标分别为（m，n），（-m，-n），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，则点M的轨迹方程为+=+.

证明：设M（x，y），则kAM=，kBM=，所以kAM·kBM=·==-，即得+=+（x≠±m）.

性质4 设A，B的坐标分别为（m，n），（-m，-n），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为-=-（x≠±m）.

证明同性质3的证明，从略.

高考命题再现，拓展应用

对这两个推广性质的考查，是对这一类问题的进一步拓展，是问题之“流”，其所运用的思想方法大体一致，这在近年的高考考查中也不时出现，下面举例说明.

例3 （2011年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

解析：（1）由性质3可得m=-1，n=1，a2=3t，b2=t，动点P的轨迹方程为+=+，即x2+3y2=4（x≠±1）.

（2）存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，且此时点P的坐标为，±（过程略）.

例4 （2009年高考辽宁卷）已知椭圆C经过点A1，，两个焦点为（-1，0），（1，0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

解析：（1）易得椭圆的方程为+=1.

（2）设直线AE的方程为y=k（x-1）+，代入+=1，得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4-k-12=0. 设E（xE，yE），F（xF，yF）. 因为点A1，在椭圆上，所以xE=，yE=kxE+-k. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得xF=，yF=-kxF++k. 所以直线EF的斜率kEF===. 即直线EF的斜率为定值，其值为.

通过对上述例题的探究，我们可以发现，高考命题很多是源于教材的，不少题目都能在课本上找到“影子”，往往就是对课本原题的变型、改造及综合. 高考题“源于教材，高于教材”，这是一条不变的真理，所以复习时万万不能远离课本，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展.

由此可见，只要我们认真观察，注意积累，充分挖掘课本资源，系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题，注意通性通法，重视具有普遍意义的方法和相关的知识的学习，突出对主干知识、数学思想方法的领会，一定能发现更多的、更好的、有价值的数学资源，为数学学习的效率锦上添花.endprint