一个包含Smarandache LCM对偶函数的方程

高丽，马娅锋

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

1 主要结论

对任意的正整数n，著名的Smarandache LCM函数的对偶函数定义为［1］:

其对偶函数定义为［2-3］:

许多学者对SL∗(n)的算术性质进行了研究，获得了不少有趣的结果.例如，田呈亮［4］得到当n为奇数时；当n为偶数时.王妤［5］得到的正整数解.陈斌［6］得到了的正整数解.赵娜娜［7-8］得到了的正整数解.

本文中利用初等数论和分类讨论的方法研究方程

的正整数解，并得到其所有正整数解.

2 定理的证明

Ⅰ）当m=1时，n=2α，3Ω() n=3α，有

Ⅱ）当m＞1时，分α=1和α＞1两种情况，具体分析如下:

（ⅰ）当k=1时，n=2∙3α1，3Ω(n)=3(1 +α1)，有

因此，方程（1）等价于

下面求解方程（2）.

（ⅳ）当k≥4时，由数学归纳法证得，

易知此方程无正整数解，此时方程（1）无正整数解.

（Ⅰ）当3|m时，具体讨论如下:

（ⅰ）当k=1时，n=2α3α1，3Ω(n)=3(α +α1)，有

为方程（1）的解.

①当p2=5时，即，有

因此，方程（1）等价于

可化简为6+3αα1+6αα2+10α2α1+2αα1α2=30α+27α1+30α2.由 java程序解得α=3，α1=2，α2=6；α=3，α1=4，α2=3；α=4，α1=6，α2=2；α=4，α1=40，α2=1；α=5，α1=3，α2=3；α=5，α1=18，α2=1；α=10，α1=18，α2=1；α=13，α1=2，α2=3；α=13，α1=7，α2=1；α=21，α1=6，α2=1；α=25，α1=3，α2=2；α=109，α1=5，α2=1.

②当p2＞5时，有

因此，方程（1）等价于

可化简为2+αα1+2αα2+3α2α1+αα1α2=10α+9α1+10α2.由java程序解得

α=2，α1=2，α2=8；α=2，α1=10，α2=2；α=3，α1=1，α2=17；α=3，α1=2，α2=5；α=3，α1=6，α2=2；α=4，α1=2，α2=4；α=4，α1=20，α2=1；α=5，α1=4，α2=2；α=5，α1=12，α2=1；α=7，α1=1，α2=5；α=7，α1=2，α2=3；α=7，α1=8，α2=1；α=9，α1=3，α2=2；α=11，α1=6，α2=1；α=19，α1=5，α2=1.即

①当p2=5，p3=7，α1=α2=α3=1时有

②当p2≠5，5＜p2＜p3，α1=α2=α3=1时

③当α1＞1，α2＞1，α3＞1时，有

（ⅳ）因此，当k≥4时，方程（1）也无正整数解.

（ⅰ）当k=1时，方程（1）等价于1+αα1=5α+5α1，由java程序解得α=6，α1=29；α=7，α1=17；α=8，α1=13；α=9，α1=11；α=11，α1=9；α=13，α1=8；α=17，α1=7；α=29，α1=6.

α=2，α1=2，α2=5；α=2，α1=3，α2=3；α=2，α1=5，α2=2；α=3，α1=1，α2=8；α=3， α1=2，α2=3；α=3，α1=3，α2=2；α=3，α1=8，α2=1；α=4，α1=1，α2=5；α=4，α1=5，α2=1；α=5，α1=1，α2=4；α=5，α1=2，α2=2；α=5，α1=4，α2=1；α=8，α1=1，α2=3；α=8，α1=3， α2=1.即为（1）式的解.

解得α=2，α1=2，α2=1，α3=1；α=2，α1=1，α2=2，α3=1；α=2，α1=1，α2=1，α3=2.

因此，方程（1）无正整数解.

综上所述，定理得证.

［1］Smarandache F.Olny problems，not solutions［M］.Chicago:Xiquan Publ House，1993.

［2］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京:北京大学出版社，1992.

［3］张文鹏.初等数论［M］.西安:陕西师范大学出版社，2007.

［4］Tian Chengliang.An equations involving the two Smarandache LCM dual function［J］.Scientia Magna，2007，3（3）:104-107.

［5］王妤.一个包含Smarandache LCM对偶函数的方程［J］.黑龙江大学：自然科学学报，2008，25（5）:645-647.

［6］陈斌.包含Smarandache对偶函数的方程的正整数解［J］.天津师范大学学报：自然科学版.2012，32（3）:6-8.

［7］赵娜娜.关于Smarandache LCM对偶函数方程的可解性［J］.渭南师范学院学报，2013，28（9）:14-18.

［8］赵娜娜.一个关于Smarandache LCM对偶函数的方程［J］.纺织高校基础科学学报，2013，26（3）:323-327.

［9］闫天国.关于Smarandache LCM对偶函数的一个方程［J］.西南民族大学学报，2013，39（4）:570-574.

［10］陈斌.一个包含Smarandache对偶函数的方程［J］.西南大学学报：自然科学版，2012，34（12）:92-96.