宋元数学著述序跋中的数学起源和功用论*

周 畅，段耀勇，段垒垒

（1.西安邮电大学理学院，陕西　西安　710121；

2.中国人民武装警察部队学院，河北　廊坊　065000；

3.济南市长清第一中学初中部，山东　济南　250000）

宋元数学著述序跋中的数学起源和功用论*

周 畅1，段耀勇2，段垒垒3

（1.西安邮电大学理学院，陕西西安710121；

2.中国人民武装警察部队学院，河北廊坊065000；

3.济南市长清第一中学初中部，山东济南250000）

宋元时期秦九韶、李冶和杨辉数学著作的序言中反映出，该时期的中算家认为数学知识源于生产实践并由“圣人则之”.而数学功用则依次表现为三个递进的层次：尽管数学是六艺之末，但在服务于生产实践和社会生活活动中可经世和类物；数学家们从事数学研究是为了“通神明，顺性命”，数学家在数学创造过程中有强烈的美感体验数学生于道，最终还要进于道，最后尝试性地分析了中国数学起源观形成的原因.

宋元；数学起源；数学功用

0　引言

宋元时期秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰是很有代表性的数学家，因为朱世杰的数学著作没有自序，所以主要选取秦九韶所著《数书九章》、李冶的《测圆海镜》和《益古演段》以及杨辉所写《详解九章算法》、《续古摘奇算法》和《日用算法》的序言，来讨论其中所反映出来的数学起源观和数学功用论.当然仅以序言文本为依据得到的相关结论，还需其他更多文献和更多论据支持，这需要后继研究和讨论.

从唐以前中算书中，特别是《算经十书》的序言中，我们可以看出唐以前的数学家认为数学源于实践并由圣人所制.数学的功用依次分为：算在六艺；从事数学研究可通神明之德，类万物之情；以阐世术之美[1]三个依次递进的层次.而且这个阶段的数学思想与儒家思想水乳交融密不可分.

而宋元时期数学著作序言中反映出来的数学起源和功用论，基本承袭了唐以前的观点，只是在表述上略有不同.即：数学知识源于生产实践并由“圣人则之”.而该时期数学的功用分为三个层次：尽管数学是六艺之末，但在服务于生产实践和社会生活活动中可经世和类物；数学家们从事数学研究是为了“通神明，顺性命”，数学家在数学创造过程中有强烈的美感体验数学生于道，最终还要进于道.但与唐以前的数学思想多受儒家文化影响不同，宋元时期的数学思想多打上了道家文化的烙印.

1　从算书序言看秦九韶、李冶和杨辉的数学起源和功用论

1.1秦九韶的数学起源和功用论

秦九韶对数学起源的认识和观点在他数学著作的序言，特别是《数书九章》序[2－3]中表露无遗[4－5].“圣有大衍，微寓于《易》”[2]35－44，他认为数学起源于周易.在“爰自河图、洛书……圣人神之……要其归.则数与道非二本也”[3]439中，他的这一观点则更加具体和详细.这一观点与刘徽的“圣人则之”的看法基本一致，如“神禹奠之”，“周教六艺，数实成之”[3]439.但与刘徽不同的是，他的数学起源论中充斥着当时大语境“道”的影子，如他提到“道本虚一”故“述大衍第一”，又如：太虚生一，周流无穷.由此，他的思想必然受到了道家的影响，即他所谓“数与道非二本也”.

秦九韶把中算分为“内、外”两种算学，即《九章算术》类的公开流传的大众算学为外算，秦九韶称之为小数术，而其中隐秘不传的部分是大数术即外算.显然秦九韶也持数学的易学起源说，内外算的划分标准则源于其对数学功用论的认识.“经万事，类万物”是数学“外算”的功用，而“通神明，顺性命”的功能只有在算学中的内算中才能实现.而且他自鸣得意的数学成就“大衍之数”就源自《周易》的“大衍之数”.当时的“外算”即现在我们理解的数学范畴，尽管“内算”具有神秘色彩的功用，就其“算”的本质而言，“内外算”的边界非常模糊.同时，秦九韶也指出“外算”只是相对“内算”而言存在的，二者功用相同，不分彼此，“其用相同，不可岐二”.[6]

秦九韶的数学实用论思想认为数学具有“类物”和“通神”两大功能.显然，他认为数学的主要功用是实用，这从《数书九章》的“目曰大衍，曰天时，曰田域，曰测望，曰赋役，曰钱谷，曰营处，曰军旅，曰市易”[5]332中不难看出.再者，秦九韶的“内外算”定义的分野决定了其两个递进的数学功用论认知，同时这两个层次的功用也是他划分“内算”和“外算”界限的标准.显然，秦九韶“外算”的功用论“经世务，类万物”来自刘徽的“昔在包牺氏始画八卦……以类万物之情……虽天圆穹之象犹曰可度.”[7]秦九韶“内算”的功用论“通神明，顺性命”，说明数学在摹写自然的同时，实在与自然界的内在固有的“规律”和“序”进行交流和对话，这与刘徽所论“包牺氏始画八卦，以通神明之德”一脉相承.

1.2李冶的数学起源和功用论

《测圆海镜》序[8]、敬斋先生《测圆海镜》后序[9]、《益古演段》序[10]和《益古演段》自序中包含了李冶的“皆以九章为祖，而刘徽李淳风又加注释，而此道益明”[10]875的数学《九章》流变观.但谈到数学的起源时，他认为“数出于自然”即数学是自然的固有属性，但是即使是“轩辕、隶首”再生也很难真正穷尽自然之妙.从李冶的序中看出，他的数学“起源观”多因循旧说，也认为数学是自然的固有，但数学仍有圣人“轩辕、隶首”首创.这都未超出刘徽所论.与秦九韶强调特别是“内算”的易学起源不同，李冶强调的不多.

李冶、秦九韶的数学“功用论”基本一致，首先认为数学最基本的功用是六艺之一，“数学在六艺为末，求之人最为切要”，是社会生活和生产实践的“切要”，这是数学最实用的物质需求部分.而“苟能推自然之理，以明自然之数”[8]51，就是数学功用论中的较低层次的精神需要了，即数学研究就是显化自然固有的“理”和“数”，从而实现人与自然的深层次的对话.这与前文提到的刘徽和秦九韶的看法一致，只是表述不同而已.

另外就数学功用论而言，除了基本的社会生活和生产实践的物质方面的需求外，还有数学家们试图通过数学描摹自然从而想与自然对话和交流的功能.在完成这两个功能后，数学家在数学实践和创造中必然会有相应的数学美学体验.刘徽就说数学研究的目的或者说具有“以阐世术之美”功用，李冶也有明确的类似说法.李冶认为尽管数学是“九九贱技”，但“道”既是数学的根源，又是数学的归宿“小数为大道所归”.而且他说：“安知轩隶之秘不于是乎始？”即他认为传说中的“轩辕”和“隶首”也是在数学创造中得“道”的.简言之，他认为通过对数学的研究可以“近乎道”，同时在这个过程中也可以得到数学美的享受.这种数学审美的体验不仅体现在他具体的数学工作中，“使粗知十百者便得入室啖其文，顾不快哉！”而且，一直伴随他的终生，“老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去……”[8]51临终前的唯一的牵挂也是他数学研究的心血结晶，他在序中说道，《测圆海镜》虽九九小数……后世必有知者.后来砚坚对此也说：“先生于六艺百家，靡不串贯，文集近数百卷，常谦谦不自伐.惟于此书，不忘称异于易簣之间，想有玄妙内得于心者.”[8]51从这些文字中，我们都能感觉到李冶在数学研究过程中体会到了强烈的美感体验，其本质力量通过数学研究和数学成就而具体地显现出来.

1.3杨辉的数学起源和功用论

《详解九章算法》荣棨序、杨辉《日用算法》序[11]和杨辉《续古摘奇算法》序[12]中都包含着杨辉的数学起源观，杨辉认为圣人所制之数源于“道”，这一点与李冶很接近，其梳理的数学发展脉络为：“昔黄帝时大夫‘隶首’创此艺，继得周公著《九章》，战国则有魏刘徽譔《海岛》至汉甄鸾注《周髀》《五经》，唐李淳风校正诸家算法”，那么数学的起源是什么呢？他说：“数学为‘隶首’首创，生于道，成于九.”最后，他强调数学是自然界固有的“道”是先天而存在的，他说：“万物莫逃乎数.是数也，先天地而已存，后天地而已立……”[11]1452

杨辉的数学功用论与历史上其他的数学家也基本相同，但不同于以往说数学在“六艺”属“六艺之末”不同，他说数学是六艺之一，这种细微变化说明数学在他心目中地位是与其他“五艺”并列，而无尊卑和顺次关系，并强调数学是历代名人贤士所重视的一项技艺.而且数学应用范围极其广泛：若施之于圭表，则穹窿之天可考，推日月之晦明，步五星之盈缩，验晨昏昼夜不移，行气候寒暑无忒……[10]950另外，他的数学实用论在他的教育思想中也有所体现，他主张数学教育贯彻“须责实用”的思想，他在《日用算法》中说：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实用.”[11]1452其书中多次引用台州、黄岩围量田图等实例.另外，杨辉也认为“万物莫逃乎数.是数也，先天地而已存，后天地而已立……”[10]950即数学研究是在摹写自然，可以通神类物.

2　道家影响下的宋元数学思想及数学起源论

《周易》既是儒家也是道家的经典之作，是你中有我我中有你不可分割的中华文化中的两个方面.因此，讨论数学与儒家和道家的关系时，都不可避免的提到易学.数学家刘徽博采先秦诸子和两汉学者众家之长，作为极具传统文化素养的学者，必然会受到《周易》和《周礼》等儒家经典著作的巨大影响，在论及数学早起发展时采用传说的伏牺和黄帝“制数”说，刘徽的数学“起源观”受到儒家思想的影响并不奇怪.宋元时期道教繁荣的语境下秦九韶、李冶和杨辉的数学思想受到道家影响也在情理之中.

道家特别是邵雍学派对秦九韶的影响很大，他很推崇并高度评价宋朝初年的道士陈拓，耳濡目染之下使“秦九韶成为两宋道学的忠实信徒，并将道学的思想方法直接渗透到了他的数学成果之中”.[13]同样，在他的序言里也能看到他受道家影响的痕迹，他认为“物莫不有数”，这里的“数”即为“道”，如其所言“道与数非二本”，最后他也指出，研究数学最终的归宿是“曲艺可遂也，愿进之于道”.

郭书春先生最先明确指出李冶的工作受到了道家影响，“从推自然之数，以明自然之理的数学研究方法和接受洞渊九容的知识等方面来看，可以肯定地说，李冶深受道家思想的熏陶”.[14]另外，洪万生和盖建民也相关论述和结论，李冶的“立天元一”的代数思想直接源于道教，天元术则源于“洞渊九容”的内容，[15]洪万生则在全真教的学术环境中对李冶数学认识论和作为数学家的正当性进行了辩护和合理的解释.[16]实际上可以说李冶的数学思想直接传承于道门，他和元好问与全真教的高道们交往甚密，在全真提供的北方学术语境中，从事着自己挚爱的数学研究和数学实践.

与秦九韶认为“数与道非二本”和“内算目的论”不同，李冶认为由“技”即数学即可“进乎道”，而且他说：“彼其冥冥之中，固有昭昭者存.夫昭昭者其自然之数也.非自然之数其自然之理也.”[8]51所以他认为数学并不神秘，只是自然之理的摹写而已.

“夫算者数也，数之所生，生于道……数之所成，成于九.”[10]950由此可知，杨辉也受到了道家的影响，杨辉与秦九韶相同，著作“内算”内容很多，比如还给出了构造“洛书”的方法.

综上，从算书的序言中，可以看出宋元时期的大数学家的数学起源和功用论都受到了道家文化和“象数学”的影响，具体的影响和影响的程度当然还需要更多直接论据的支持.

3　余论

总体而言，算书序言中反映出来的宋元时期的数学起源和功用论，承袭了唐以前的传统认识，并未超出刘徽所论范围.数学源于自然由“圣人则之”的看法基本一致，只是表述上略有不同.与刘徽的数学起源论受到儒家思想（包含周易思想）的影响形成对比的是，宋元的数学起源论受到了道家文化和象数学的影响.宋元时期的数学功用论也没有超出刘徽所论：数学源于实践并由圣人所制.数学的功用依次分为算在六艺；从事数学研究可通神明之德，类万物之情；“以阐世术之美”三个依次递进的层次.秦九韶、李冶和杨辉都强调数学的实用功能，杨辉还把它使用到在数学教育中“须责实用”；三位数学家都认为数学摹写于自然，可以通神类物，而李冶也有类似刘徽的数学美学观.考虑到讨论问题的历史语境，宋、元道教总的特征是“圣”与“俗”的界限混融，宗教形态与社会生活更为深入、细致地融合.[17]在中国算学史中与道有渊源的数学家也为数不少，南朝宋的何承天，隋代的刘焯，唐朝的李淳风，元代的赵友钦以及明朝的朱载育等.另外，北周先“道”后“佛”的甄鸾也是一位颇有贡献的数学家.道教对传统数学思想发展的影响可以从《数术记遗》和天元术等典型案例中窥见一斑，我们还需在历代道家典籍中发掘和整理其中蕴含的数学观念和思想.因此，从算书的序言中，我们看出宋元时期的大数学家的数学起源和功用论或多或少都受到了道家文化的影响，这也在情理之中.

对于宋元数学起源和功用观的成因进行分析发现，宋元的数学起源观与唐以前的观点差别不大，只是更多的附带了社会语境的信息，特别是道家思想的影响较为突出.

数学起源于社会需求的“需求论”，即数学起源于人类社会生产和社会生活的需要，这在历代数学家的数学功用论中均能见到，而且这是大家普遍接受的说法.如秦九韶就认为数学可以“经世务，类万物”；李冶则认为“术数虽居六艺之末，而施之人事则最为切务”；杨辉则说“算学居六艺之一”，“其为用也大矣”.由此数学功用论，我们不难推断出，数学起源于社会需求的观点.

数学起源“圣人则之”观自有其合理性.首先，宋元数学家仍然认为数学是自然固有之道的摹写，但是由伏牺和黄帝这样的“圣人首创”而得.这种“圣人首创论”源于中国的“圣人史观”，数学作为中国历史文化的一部分也不能例外.其次，数学起源的“圣人则之”说也源自古代数学家自己的需要.数学家著述如其他文人著述相同，追述学科沿革是自然的做法，而中国著述多引经据典，因此在古代典籍中寻找数学的起源也在情理之中.再次，中国的数学家自身内心的自然需求，“圣人责之”的修辞是数学起源过程和数学初创者在历史传承过程中的残存记忆.最后，中国古人好古和迷信也是原因之一，这数学著作序言里就体现为数学起源“圣人则之”的说法.

还有一个很重要的原因在于，宋元出现数学起源的“圣人则之”观与当时的社会政治制度有关，圣人制数的思想在中国古代封建社会的意识形态中，是统治者君权神授的体现.因此多数数学家在讨论数学起源问题时，基本上都遵循“圣人则之”、圣人制数的说法也就不奇怪了.

[1]周畅，段耀勇.美学视角下刘徽的数学工作[J].西北大学学报：自然科学版，2012（1）：169－172.

[2]郭书春.秦九韶《数书九章序》注释[J].湖州师范学院学报，2004，26（1）：35－44.

[3][南宋]秦九韶.数书九章.宜稼堂丛书本郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷一[M].郑州：河南教育出版社，1993：439.

[4]陆心源.仪顾堂题跋·卷八[M].北京：中华书局影印，1990：2－3.

[6]侯钢.两宋易学与数学关系初论[D].中国科学院博士论文，2006：1.

[7]刘徽.九章算术注序.算经十书（一）[M].郭书春，刘钝，校点.大连：辽宁教育出版社，1998：1.

[8]李冶.测圆海镜序.孔国平著.测圆海镜导读[M].武汉：湖北教育出版社，1996：51.

[9]王德渊.敬斋先生《测圆海镜》后序.孔国平著.测圆海镜导读[M].武汉：湖北教育出版社，1996：264.

[10]任继愈.中国科学技术典籍通汇·数学卷一[M].郑州：河南教育出版社，1993：874.

[11]南宋·杨辉.日用算法·自序.海岛算经后序.诸家算法及序记.任继愈.中国科学技术典籍通汇·数学卷一[M].郑州：河南教育出版社，，1993：1452.

[12]靖玉树.中国历代算学集成（上）[M].济南：山东人民出版社，1994：924.

[13]雷兴辉.道学思想方法与秦九韶的《数书九章》[J].西安文理学院学报：社科版，2010（8）：54.

[14]郭书春.中国科学技术史人物卷（卢嘉锡总主编）[M].北京：科学出版社，1998：426.

[15]盖建民.道教科学思想发凡[M].北京：社会科学文献出版社，2005：121－129.

[16]洪万生.全真教与金元数学[A].金庸小说国际学术研讨会.台北国家图书馆，1998.

[17]刘敏.论宋元道教的社会化存在形态[J].社会科学研究，2008（1）：123－127.

[责任编辑 黄祖宾]

[责任校对 苏 琴]

The Original and Function of Mathematics in the Prologues and Postcripts of the Chinese Mathematics Workes in Song and Yuan Dynasties

ZHOU Chang1，DUAN Yao-yong2，DUAN Lei-lei3
（1.Xi'an Institute of Posts.and Telecommunications，Xi'an 710121，China；2.The Chinese People's Armed Police Force Academy，Langfang 065000，China；3.The Department of Junior High School，Changqing No.1 Middle School，Jinan 250000，China）

Basing on the prologues and postcripts of mathematical works during Song and Yuan dynasties，it is concluded that the Chinese mathematicians concerning with QIN Jiushao，LI Ye and YANG Hui thohght that the resources and original knowledge of mathematics is from the production practice activities and is created by the sages such as Baoxi，Huangdi and Lishou etc..As for the function of mathematics which they held，there are three views（1）for solving the issues of in the production and the civilian practice activities especially for the constituting calendar，and though“mathematics is the last of the six arts，it can be used to deal with the civilian activities and counterdraw the world，（2）the subject of researching mathematics is to understand the universe and master the rule of the nature，and（3）more important，to study the mathematics is for tasting and representing the esthetics of mathematics.And the mathematical thoughts during this peroid are all affected by the Taoism.And，reasons of formation for origin of mathematics are discussed tentatively.

Song and Yuan dynasties；the original of mathematics；the function of mathematics

O119

A

1673－8462（2015）01－0028－04

2014-08-10.

教育部《中华大典·数学典·传统算法分典》项目，陕西省教育厅专项基金（2013JK1182）；西安邮电大学青年教师科研基金资助项目（ZL2014－34）.

周畅（1979-），女（满族），理学博士，河北廊坊人，西安邮电大学理学院讲师；段耀勇（1969-），男，山东济南人，理学博士，中国人民武装警察部队学院基础部教授.