南宋数学家杨辉的数学成就

汪晓明

杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是南宋著名的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.从1261年到1275年，杨辉先后完成数学著作5部，共21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田畝比类乘除捷法》2卷和《续古摘奇算法》2卷（其中《详解》和《日用算法》已非完书）.后三部著作合称为《杨辉算法》.杨辉在总结前朝数学家的成果时，又极大地创新和发展了数学技术，推动了中国算数领域的进步。

四阶以上的纵横图，杨辉只画出图形而未给出作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律.他的十阶纵横图叫百子图（图4），各行各列的数字之和均为505。

三、杨辉三角

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，如图5。

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则等于它肩上的两个数之和。

北宋时期出现了一种名为增成法的算术，杨辉理解其中的规律后，进一步完善了增成法的运算和适用范围.杨辉认为，增成法虽然在一定程度上避免了试商，但当被除数增多时，运算量不仅会加大，正确率也不高.杨辉在所著《乘除通变算宝》一书中，概括了简便的计算规律，比如“归数求成十”“归数自上加”等，为百姓解决计算问题提供了很多的方便。

杨辉在数学上的研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这也是由当时的社会状况决定的.唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当大的规模，因此，人们在生产、生活中需要数学计算的机会大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法.杨辉不遗余力地改进了计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。