引例铺路，启发设问，引导反思——2015年辽宁大连第26题思路突破与教学构思

☉江苏省连云港市欢墩中学 张艳

引例铺路，启发设问，引导反思
——2015年辽宁大连第26题思路突破与教学构思

☉江苏省连云港市欢墩中学 张艳

《中学数学》（2015年8月初中版）刊载了《众里寻她千百度，最值却在顶点处——2015年福州卷第26题的思路突破与解后反思》一文，笔者独立演算了考题的解法，对作者发出的“众里寻她千百度”的感叹亦有共鸣，接着在研习2015年各地中考数学卷时，也碰到一道类似的考题，有些心得体会.本文就整理该考题的思路突破与教学构思，供研讨.

一、考题与思路突破

考题：（2015年辽宁大连，第26题）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C、F、D的抛物线为y＝ax2＋bx＋c.

（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）.

（2）若点G的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式.

（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM＝

EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.

图1

思路突破：（1）根据折叠的性质得：CF＝AB＝m，DF＝DB，∠DFC＝∠DBA＝90°，CE＝AE，∠CED＝∠AED.设CD＝x，则DF＝DB＝2m-x.根据勾股定理得：CF2＋DF2＝CD2，即m2＋（2m-x）2＝x2，解得x＝m，即点D的坐标为

（2）在（1）求解的基础上，设法用含m的式子表示出点E的坐标，借助于△OEG∽△CDG带来的比例式，可以构造关于m的方程，解出m＝2，从而明确点接下来重点处理点F的坐标，我们将图形稍作分离成图2.

图2

作FH⊥CD于H，则∠FHC＝90°＝∠DFC.利用△FCH∽△DCF带来的比例式，解出FH）.到此，C、D、F三点的坐标均得到明确，可以用待定系数法解出抛物线的解析式为y＝

（3）在（2）的条件下，即m＝2，可以很快确定CD＝AE＝待分析的PM＝而此时PM恰为CD的一半，于是可以想见以点M为圆心，CD为直径的圆与抛物线的交点应该是符合要求的.于是构造图3分析：

图3

根据直径所对的圆周角为直角，可知图中点F就是符合题意的一个点P，即点再根据圆、抛物线的轴对称性质可以求出另一个点P

二、解题教学构思

以下再从解题教学的角度，使用考题开展教学时构思一份“微教学设计”.

（一）开课引入

题1：如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E、F在边BC、AD上，沿EF折叠矩形，过顶点A、C重合，则CE＝______，EF＝______.

图4

）在同一直线上，求m的值.

题3：二次函数y＝ax2＋bx＋2的图像经过）两点，试求a、b的值.

预设意图：针对考题将要涉及的一些基本图形、基本解题经验，预设上述三道小题，以便学生进入后续考题探究时有所准备.

（二）考题初探

出示考题，学生独思考之后，预设系列启发性问题.

问题1：写出图1中顶点A、C的坐标.

问题2：若设BD＝x，用含x的式子表示CD.

问题3：在直角三角形CDF中，能否构造一个方程求出问题2中的x？（用含m的式子表示）

问题4：用含m的式子表示点E的坐标.

……

预设意图：通过上述系列启发性问题，让学生对题干呈现出来的信息达到深刻的理解，有助于解答考题的前两问.

（三）攻克难点

主要针对考题第三问预设如下启发性问题.

问题1：能否求出PM的长？

问题2：你发现PM与CD有怎样的数量关系？

问题3：计算FM，你有何发现？

问题4：以CD为直径的圆，能否经过点F？为什么？

……

预设意图：通过上述问题，启发学生突破难点的思路，让学生在上述问题的启发之下能顺利突破考题的第三问.

（四）解后反思

考题的几个小问思路全部贯通之后，作为必要的反思，给出如下反思角度.

反思1：第三问求出的点P与C、D能否围成直角三角形？该直角三角形与以CD为直径的圆有何关系？

反思2：第三问中点P、点P′关于哪条直线对称？

三、关于较难综合题解题教学的两点体会

1.重视预设引例，引导更多学生参与进来

中考二轮复习期间，常常有很多较难综合题的教学，这时如果直接上来就是一个大的综合题，往往会把一些基础不好、数学适应性偏弱的学生拒之门外，使他们开始就读不懂问题，从而影响课堂教学效率.这时，一般先围绕待讲评的较难综合题在求解、突破过程中需要用的基本图形、基本解题方法，预设3～4道小题训练，让学生预热起来，为后续考题的独立思考提供知识和方法上的准备.

2.多角度难点突破，通过系列启发性问题促进学生理解

对于较难综合题的难点突破，一般需要从各角度尝试突破，通常情况下“数”“形”两个角度都能解答的，应该带领学生双向理解.同时通过系列启发性问题促进学生理解问题，并且在思路贯通之后，及时引导学生思考该问题的深层结构，这样就不仅演练、讲评了一道考题，而且实现了“做一题·做一类”解题教学的高效.想来，像考题的第三问，如果不能帮助学生揭示以CD为直径的外接圆与抛物线的两个交点（P、P′），也许就是罗增儒教授所指出的“入宝山而空返”吧！Z