落实“四基四能”：例题教学可以先行先试*

落实“四基四能”：例题教学可以先行先试*

☉江苏省扬州市广陵区教育局教研室 石树伟

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标中将传统“双基”扩充为“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，将传统“两能”扩充为“四能”，即分析和解决问题的能力、发现和提出问题的能力.［1］目前，数学界对基本思想、基本活动经验等概念的内涵和外延还有争议，但作为一线教师不必等待观望，可以摸石头过河边实践边研究，其中例题教学可以先行先试.

一、例题的选择编排

吃什么永远比怎么吃更重要，教什么永远比怎么教更重要.［2］例题是知识应用、技能示范的范例，是思想方法渗透、能力素养培养的载体，如果没有好的例题，再怎么讲也是事倍功半.例题编选是例题教学中落实“四基四能”的基础性工作，其要求随着时代的发展也在不断地与时俱进.

1.传统要求夯基础

重视例题编选的适切性、层次性、典型性是我国数学教学的优良传统.“适合的才是最好的”，适切性既要切合不同能力基础的班级学情，也要切合新授或复习等不同学习阶段；要遵循学生的认知规律，例题编选就必须由易到难具有层次性；笛卡儿说过：“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其他问题”，在宝贵的课堂教学时间内，教师示范讲解的例题应是典型的：既要巩固应用当前所学知识、渗透重要数学思想方法，也应是某种规律的代表，能由“个”及“类”.

例题编选的传统要求永远不会过时，因为它们是落实传统双基的必然要求，而传统双基又是其他目标包括基本思想、基本活动经验落实的载体.如图1，在数学学习过程中，传统双基与基本活动经验是相互依存、相互促进的，二者通过不断融合、反思提炼而形成的一种具有奠基作用和普遍指导意义的知识经验便是数学基本思想.

图1“四基”之间的关系结构

苏科版九年级下册“锐角的正弦和余弦”一节三道例题的编排.

例1如图2，根据图中条件，分别求出直角三角形中锐角的正弦、余弦值.

例2在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB的值.

例3在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosB的值.

图2

评析：例1巩固概念，例2拓展提升，例3综合应用，在一堂课的不同学习阶段使用，符合适切性要求；例1的三个图之间从标准图形到非标准图形，从常规条件到非常规条件，帮助学生变式巩固基本概念，例1～例3求三角函数值，从提供直角三角形到自己构造直角三角形，从直接提供边长到提供边长之间的关系，思维层次不断递进，符合层次性要求；例2、例3既巩固应用基本概念，又代表了两类模型：例2是无直角三角形需构造直角三角形解决三角函数问题，例3是已知两边关系求其他三角函数值，符合典型性要求.

2.新增要求为创新

时代的快速发展对创新的需求越来越强烈，为了呼应这种需要，例题编选要注重开放性和问题性.

（1）开放性.

例题编选的开放性体现在两个方面：①问题本身的开放性，即常说的开放题，一般有条件开放题（条件缺少需补充，多余需选择）、策略开放题（即一题多解）、结论开放题、综合开放题.②问题来源的开放性，可以来源于生活、其他学科、教学中的生成或封闭性例习题的改造.开放题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性，有利于培养学生的创新意识和创新思维能力.

例4请你为函数关系式y=5+1.2x设计一个生活背景，并提出一个相关问题.

例5已知△ABC中，∠C=90°，BC=6，可以求出AB或AC吗？若不能，还应添加什么条件？如何求？

评析：例4是一道一次函数应用的综合开放性例题，由来源于生活的常见数学模型寻求丰富多样的现实背景，还要提出问题，有利于学生充分感受函数的应用性；例5是勾股定理教学的一道由教材封闭性例题改造而来的条件开放性例题，可以再添加一边长（AB或AC），也可以添加两边之间的关系（如AB和AC之间的和、差、倍分关系）.通过发散思考，一道例题相当于多道题，学生对解决这样的问题感兴趣.

（2）问题性.

好的例题应该是好的问题情境.例题编选应加强问题性，主要体现在以下两个方面：

①以问题激发学生动手操作、动脑思考.问题是数学的心脏，可以将一些常规的课本例题改造为问题，让学生经历问题解决的机会.这里的问题不是常规的习题，而是对学生具有智力挑战特征的，没有现成的方法、程序或算法的待解问题情境，问题具有挑战性、探究性、启发性等特征.常规的习题主要是为夯实双基设计的，而问题解决的目标则指向学习如何思考，让学生在操作思考的过程中积累操作和思维的经验.

②以情境引发学生发现并提出新的问题.“发明千千万，起点在一问.”陶行知的这句话充分说明学生自己发现和提出问题对于创新能力培养的重要性.例题应创设好的情境，激发学生发现并提出问题，培养创新意识和能力，积累数学“原始”发现的经验.

例6将教材常规例题改造为数学问题.

（教材原例）已知：如图3，点A′、B′、C′、D′分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.

图3

图4

（改造问题）如图4，若把正方形ABCD的四个角剪掉，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形？请在图上画出一个可行的方案，并说明理由.

例7用两种方法因式分解：a6-b6.

解法一：a6-b6=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+ a2b2+b4）.

解法二：a6-b6=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2-ab+ b2）（a2+ab+b2）.

例8如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D.请以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O.（不写作法，保留作图痕迹）

图5

图6

评析：例6改造后的问题需要学生先动手操作尝试再理性分析思考，从而让学生经历问题解决的全过程.例7～例8得出结果不是主要目的，主要目的是创设了一个生发问题的情境，在得出结果后教师应“留白”，静心期待学生直觉感知数量关系（如例7）或位置关系（如例8），耐心等待学生发现并提出问题：例7中两种方法的结果为什么不一样？（a4+a2b2+b4）等于（a2-ab+b2）（a2+ab+b2）吗？例8中⊙O与直线BC是不是相切（如图6）？进而继续探究解决问题.

二、例题的教学实施

一道好菜应既有营养又易入口，其中好的食材是前提，如何烹饪是关键.例题的教学实施应避免单纯的教师讲解、学生听记，避免就题论题、题海教学.为充分挖掘例题的教学价值，使“四基四能”目标落到实处，例题的教学实施过程中应突出以下几个关键词.

1.尝试

操作、思维的过程是基本活动经验的源泉.尝试的目的就是让学生经历操作、思维的过程，积累基本活动经验.学生力所能及时要引导学生自己去做，必须坚信：学生能在尝试中学习，并在尝试中有所悟、有所得.在两个环节应放手让学生去尝试：①例题教学开始，提供足够的时间让学生独立操作探究，尝试寻求问题的解决思路；②解题思路形成后，让学生独立尝试书写解题过程，因为学生的解题思路从想出来到说出来再到写出来，其实是一个思维不断清晰、条理化的过程，也是一个应用数学语言进行表达与交流的训练过程.

2.交流

爱德加·戴尔的学习金字塔表明，两周后的学习保持率听讲仅5%，而讨论达50%，实践达70%，教授他人高达90%.因此在学生尝试后可以组织学生小组交流讨论，相互启发、相互碰撞，也可以“以兵教兵，兵兵相长”.因为有前面独立思考的基础，学生的交流讨论就不是无源之水、无本之木，而是可行的、有效的.主要交流两个方面的内容：①交流解题思路；②交流解题思路的形成过程.交流的过程既是以学生为主体、提高例题教学效率的有效形式，也是学生基本活动经验通过交流由模糊向明晰转化的过程.

3.示误

错误也是宝贵资源.例题教学要展示暴露典型错误，反思错在哪里、为什么错，充分利用错误资源，变个别同学的典型错误为全班同学的经验教训.示误有两种方式：①展示学生在尝试过程中暴露出来的典型错误；②教师在示范讲解过程中有意“出错”，把学生中可能存在的错误或模糊认识“挤”出来，让学生发现错误、纠正错误，从而规避错误.示误是夯实基础知识基本技能的需要，知晓并能规避“暗礁险滩”也是学生必备的宝贵经验.

4.示范

G.波利亚曾经说过：“解题是一种实践性的技能，就好像游泳一样.在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会解题.”“当教师在班上解一个题目时，他应当对他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在帮助学生时同样使用的一些问题.”［3］例题教学中教师的示范是技能训练、能力培养不可缺少的环节，示范主要体现在两个方面：①示范老师拿到题目是怎么想的，碰壁是如何转向的，让学生学习如何数学地思考；②示范如何书写规范完整的解题过程，让学生学习如何数学地表达.

5.变式

G.波利亚有过一个形象的比喻：“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长.找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”［3］例题可以适当变式，让问题由易到难有层次地推进，为学生搭建适当的“脚手架”，不断提升思维层次.例题变式的基本方法有普遍化、特殊化、类比、分解和重组等.变式既能夯实巩固基础知识、基本技能，又具有一定的创新成分，有效避免机械重复训练，实现“在坚实的基础上有所发展”.［4］

例9（垂径定理运用的例题变式）（1）如图7，以点O为圆心的同心圆中，大圆的直径AB交小圆于C、D两点. AC与BD相等吗？为什么？（解题小结：等量减等量差相等）

（2）如图8，以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.猜想AC与BD有什么关系？并说明理由.（解题小结：常用辅助线：遇弦→作垂径→构造等量）

（3）如图9，隐藏大圆，连接OA、OB，OA=OB，AC与BD还相等吗？为什么？（解题小结：还有哪些途径能得到等量）

图7

图8

图9

评析：教学实施中，例9的3个小题逐题演变，层层递进，准备“等量”的难度不断提升；层层铺垫，变化之中有不变，证明线段相等的策略，即“等量减等量差相等”不变，有利于经验策略的迁移应用，体现“重复依靠变式，在变化中求得重复，在重复中获取变化”.［4］

6.反思

孔子曰：“举一隅不以三隅反，则不复也.”即学习要举一反三、触类旁通.例题教学中反思环节不可缺少.主要反思两方面内容：①反思解决问题的思维过程，解决问题的思路是怎么产生的，关键是什么，遇到了哪些困难，是如何克服这些困难的，培养学生的“元认知”体验和调控能力，积累思维的经验；②将例题由“个”的阶段“类化”上升至“类”的阶段，反思提炼蕴含的数学思想方法，总结解题规律和策略.反思有利于学生感悟基本思想，积累数学思维活动经验，是提升例题教学效益的重要环节.

如上述例9，在变式训练后应及时引导学生对本例的解决过程进行反思小结，反思证明线段相等的重要策略：等量减等量差相等；反思解决本例的关键：如何构造等量；反思解决本例的常见问题：思维定势，证明线段相等只知道通过三角形全等，缺少优化意识；反思本例所蕴含的数学思想：模型思想、转化思想；反思本例所蕴含的解题规律：遇弦作垂径得等量，学生通过一道问题的变式和反思学会解决一类问题（证明线段相等问题）.

7.留白

中国画的留白艺术让“方寸之地显天地之宽”，例题教学也应适时留白.布置学生独立尝试探究、独立书写解题过程都不是留白，没有布置任何任务、真正让学生独立自主支配时间才是留白.教师应善于等、敢于等：①示范讲解过程中、过程后应适时停顿，让学生有理解、回味、整理、感悟的时间，“教之道在于度，学之道在于悟”，数学学习“悟”很重要，一定要让学生有悟的时间；②示范讲解后，非教师引导下，给学生自我反思质疑、发现并提出问题的时间和机会，如例7、例8问题解决后应留白，静待学生发现并提出问题.留白是为学生留“发现创造”的机会.

三、结束语

不同内容、不同学情的例题教学在例题编选和实施上会不尽相同，不要求也不可能做到面面俱到.古人云“取法乎上，仅得其中”，例题教学应以上述要求为努力方向，落实“四基四能”，提升例题教学效益.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.张奠宙，赵小平.教什么永远比怎么教重要［J］.数学教学，2007（10）.

3.G.波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌［M］.上海：上海科技教育出版社，2002.

4.张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.H

*本文系单位科研基金“广陵基础教育行动创新与理论探索”项目资助、自主课题“本色数学教育主张的理论与实践研究”成果之一.