重温探寻之路——从“探索确定物体位置的方法”一课说起

重温探寻之路
——从“探索确定物体位置的方法”一课说起

☉浙江省衢州市柯城区石梁中学 余利英

2014年11月17日，“柯城区学为中心研讨活动”在石梁中学成功举办.本次活动的主题是“学为中心”.活动中笔者承担了“探索确定位置的方法”研究课的任务.笔者始终努力践行“学为中心”这个理念，课堂上师生合作所走的探索之路，受到听课专家与教师的一致好评.现重返这节“探索”之课，与各位同行共同分享探寻过程的幸福与快乐！

一、了解学情，探寻课堂教学之起点

了解学情，是备课的起点，是课堂教学的起点.对于“确定物体的位置”这部分内容，笔者了解到学生早在小学四年级就已初步感受、六年级进一步深入学习.对于初中教材中指出的两种方法：有序数对法，方向、距离法，小学教材中已经详细介绍过，学生也都能通过实例理解有序数对中的“有序”；都能度量方位角，结合比例尺用方向、距离表示物体的位置.通过提前让学生先做课后练习的情况来看，学生的确掌握得不错.八年级学生再次面对“似曾相识”的知识，“如何激发他们的学习兴趣？如何提升对数对的认识？”以实现对同一概念在不同时期的认识，呈现螺旋上升的态势，是课堂教学必须要突破的问题.

二、认识教材，探寻教材编写之意图

针对这部分内容，小学已在两个不同年级学习过，为什么在八年级又重新编排这个内容呢？笔者做了细致的分析和思考.首先，从教学内容上看，这节内容应该是后继学习“平面直角坐标系”“一次函数”的基础.数学知识是生活实际高度抽象的结果，平面直角坐标系下点的坐标，以及函数的图像亦如此.所以这节课应该是小学内容与平面直角坐标系的“跳板”.其次，从学生的知识水平上看，八年级的学生对数的认识早已从小学里的非负有理数拓宽到实数范围，对于有序数对下的“数”也不例外，在有序实数对的背景下寻求突破，是激发学生学习兴趣的一个支点，让学生有老歌新唱的感觉.再次，从学生技能发展角度看，在数轴、不等式解集等知识背景下，学生不断地接受着“数形结合”思想方法的“熏陶”，本节内容将是接受这一重要思想方法“熏陶”的契机，使学生感受两者结合之美妙.最后，用发展的眼光看，在日后解决问题的过程中，常常要建立平面直角坐标系，学生需要积累为什么要建系以及怎么建系的学习经验，本节课的教学需要给学生积累这样的学习起点.可见教材通过拉长学生的学习进程，从实例到抽象，让学生的认知水平从点点滴滴到涓涓细流再到江河湖泊，体现了知识、能力的螺旋上升的有序进阶，符合学生的认知特点.

三、努力践行，探寻化理想为现实的课堂教学

1.教学目标、重点、难点

教学目标如下所示.

（1）探索确定平面上物体位置的方法.

（2）经历用有序实数对、方向和距离表示平面内点的位置和由点写出相应数对的过程，体会、加深对数形结合思想的认识.

（3）体会到生活中处处有数学，发展应用意识.

教学重点如下所示.

（1）探索在平面上确定物体位置的方法.

（2）经历数对从整数对到实数对的体验过程.

教学难点如下所示.

（1）在小学的基础上激发学生学习本节课的兴趣，激发学生的求异思维.

（2）经历数对从整数对到实数对的体验过程，探索不同的方法确定物体的位置.

2.教学部分实录及点评

片断1：导入新课.

开场白：同学们，在小学我们就已经学过确定物体位置的方法了，在你身边一定听过、看过、经历过需要我们去确定物体位置的例子，我们的生活离不开它，因为它重要，所以这节课我们继续来探索确定物体位置的方法.

意图：生活离不开数学，数学离不开生活，开门见山，老师加重探索的语气，直接揭题.

片断2：开启探索方向.

通过课本做一做1和2，简要回顾小学的有序数对法.

做一做2中，棋子都是落在格点上的，如果棋子不是落在格点上，而是落在方格子内，我们又该怎么用有序数对描述它的位置呢？

意图：通过“做一做”，首先通过回忆唤醒旧的认知，同时也为下面的探索之路垫定坚实基础.“如果棋子不在格点上，而是落在方格内，我们怎么描述它的位置？”这个问题的提出，让学生的心理处在“愤、悱”状态，开启了探索方向，让学生感到再也不是简单的知识再现，激起他们的求知欲，为实数对的“到来”提供了良好的开端，为过点作坐标轴的垂线段提供了必要的“土壤”.

片断3：有序数对的拓展.

图1是某市局部示意图（各地点用点表示），请借助刻度尺完成下面的问题.规定列在前，行在后.（比例尺1∶400 000）

问题1：请用有序数对的方法描述图中石梁中学的位置.

生1：（3，4）.

师：3、4这两个数是怎么得到的？

生2：顺着网格线，我可以找到3和4这两个数.

图1

图2

图3

问题2：图1中的白云山的位置又该如何用有序数对表示？

课堂上，通过类比处在格点上的石梁中学的位置的确定方法，学生很快发现由白云山出发也可以作两条垂线段，得到它的行与列所对应的数，如图2.

师：我们发现过白云山这个点向东西方向的线作垂线，垂足在4-5之间，它一定不是整数，可能是什么数？

生3：是小数.

生4：可能是无理数，4与5之间有无理数.师：太好了，总之都可以看成什么数？生众：肯定是一个实数.

师：这样我们发现，我们的数对不一定都是小学里显而易见的整数对，而是实数对了，显然我们的视野更宽了.

师：如果老师隐藏网格，对于平面内任意一个点，你能表示它的位置吗？

生5：通过这个点作过参照点东西方向的垂线段，得到水平距离；然后作过参照点南北方向的垂线段，得到竖直距离.然后按规定书写，最后描述，如图3.

意图：由石梁中学到白云山，借助学生熟悉的实例，从特殊点位置的确定到一般任意点的确定，实现了从整数对到实数对的成功提升.

片断4：探索提升1.

师：刚才老师是以点O为参照点标记行与列的，那么如果我不以点O为参照点，把点O移到点O′，过点O′作水平线，然后过点O′作它的垂线，把点O′标记为0，由数轴可知：0的右边为正方向，依次标记第1、2、3列，0的左边为-1列，同样竖直方向上0的上面依次标记第1行、第2行，…，0的下面标-1行，如图4所示，此时石梁中学的位置用有序数对又可表示为什么？

图4

图5

图6

生齐答：（1，2）.

师：这是老师的方法，你也可以确立自己的参照点，看看在你的参照点下又可用怎样的有序数对表示石梁中学的位置.

生6：如图5所示，得到石梁中学的位置用有序数对表示为（-2，-2）.

生7：如图（图略），得到石梁中学的位置用有序数对表示为（-3，2）.

师：为什么同样是石梁中学的位置，可是表示出来的结果却不一样呢？

生众：参照点不同.

师：这说明：我们在用有序数对确定物体的位置时，首先要做什么？

生众：首先要确定参照点.师：现在再来看另一同学的，他还是以原来的参照点为参照点，但是他标记的行与列是用什么数标记的？如图6，此时石梁中学的位置怎么表示？

生8：用小数标记的，可表示为（1.5，2.0）.

意图：在多媒体的演示帮助下，结合数轴，学生很顺畅地理解用负数标记行与列，继而得到用负数对表示物体的位置.学生在参照点不同的选取中，在不同的单位长度下，感受着同一位置有着不同的表示方法，感受着数对的扩充.学生通过这一数学活动，不仅感受着数系的扩充对点的位置的影响，更在解决问题的过程中，积累建立适当的平面直角坐标系，选取适当的单位长度的活动经验.从理解数学的角度看，这一教学环节，体现了在数学王国里，变中有不变、不变中有变的辩证思想，体现了数和形的和谐统一.

师：在刚才这位同学的建法下，如图6所示，假如七里乡用有序数对表示为（2.5，0.5），请你在图中找到七里乡的位置，并说说你是怎么做的.

生9：2.5表示它在第2.5列，通过第2.5列处往上可以作一条竖直的射线，然后根据它在第0.5行，通过第0.5行作一条水平的向右射线，两线的交点就是七里乡的位置.（投影展示）

师：看来两线相交也能确定一个点的位置.

意图：前面的学习环节都是通过数对表示点的位置，是由“形”定“数”的过程，这一环节是由数对描绘点所在的位置，由“数”找“形”，从另一视角体现数与形的和谐统一，暗隐着平面直角坐标系下的点与有序实数对一一对应的关系，这也为数学方法“交轨法”种下了“一颗种子”.

片断5：探索提升2.

借助课本做一做3简要复习用方向、距离表示物体位置的相关知识.

问题：如图7所示的石梁中学相对于衢州城的位置怎样描述？衢州城相对于石梁中学呢？（比例尺1∶400 000）

意图：复习也是完善确定点的位置的方法（是极坐标系的“种子”）.在变式中，体会改变参照点，相应地用方向和距离确定物体的位置时结果也不一样，落实课标中的相对性.

片断6：归纳总结.

师：你认为这两种确定点的位置的方法有什么共同点、不同点吗？

生10：都要先确定参照点、要度量两个数据，还要规定顺序.一个是用两数来表示，一个是用数和角度.

师：与小学相比，你有什么新的收获？

生11：把小学中的有序整数对拓展到初中的有序实数对.

图7

生12：小学里的参照点都是固定的，而初中里对平面内的物体，可以考虑选择不同的参照点，标记不同的行与列，对同一个物体的位置，就会有不同的表示方法.

意图：在比较中归纳出两种方法的联系与区别，挖掘共性，分离个性，解剖个性，学生的学习能力在对比中得以提升.培养学生反思、总结的习惯和能力.

四、几点实践之感

1.理解数学，保障数学课堂教学的前提

本节课是对小学所学知识的延伸与拓展.针对这个内容，课标对小学的要求：（1）了解比例尺，在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算；（2）能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置；（3）会描述简单的路线图；（4）在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上的点对应.课标对初中的要求：（1）结合实例进一步体会有序数对可以表示物体的位置；（2）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.

课前我们要认真学习课标对小学和初中不同学段的要求；细心研读小学教材，仔细解答小学练习和作业中的每一道题，体会小学教材对学生的要求.从宏观与微观上精读本节、本课时教材在知识的发生和发展过程中所蕴含的价值，分析它在整册乃至整套教材中的编排地位与作用.出于这些考虑，笔者把本堂课的目标牢牢锁定在4个字上——“探索、提升”.

两种确定物体位置的方法中，有序数对法对初中阶段尤为重要，因为它是后续学习平面直角坐标系与函数知识的基础.为了使学生透彻掌握这种方法，笔者在教学时先用这一方法讲，所以在探索提升1中表示石梁中学的位置时，规定学生只用有序数对法表示，在透彻掌握这一种方法后，学生很自然地把学习方法迁移到另一种方法上，探索提升2环节中，课堂上学生一个个会意的微笑、眉宇间所流露出的那份自信与欣喜，无不证明了这一正确做法.

2.理解教学，实现数学课堂教学的保障

知识是螺旋上升的，试想本堂课若仅仅停留在让学生不断地操练用两种方法表示物体位置上，学生会觉得小学时就已学过，产生厌烦感.当然也不能过度拔高，如一开始的网格图笔者有意隐去了相应的正方向，避免了把平面直角坐标系知识置前.另外在选择不同参照点表示石梁中学的位置时，笔者都是把它放置在网格中探讨，这样既减轻了学生的学习任务，也凸显了本堂课“探索”的目标.在正确目标的指引下，备课时才有可能想学生所想，课堂教学中才能真正做到“到位”而不“越位”，学生才能在轻松快乐中一步步达成学习目标.

课标告诉我们：课程内容要贴近学生的生活，有利于学生体验、思考与探索.为此，本堂课笔者以学生所在的学校位置作为探索题材，既丰富了教材的内涵，又延伸了教材的教育功能.课标还指出：内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系，整堂课上，笔者给足了探索时间，学生在探索过程中才步步为营，美不胜收.

3.理解学生，确立数学课堂教学的根本

课堂上，当老师抛出问题而学生不知所措时，我们应该以我们的仁爱静待花开.比如课堂上，当学生完成做一做1与2后，老师请学生回顾小学期间用有序数对法确定物体位置的步骤时，学生一下子不知所措，老师一句：“没关系，我们先进行下面的学习，等下我们一起解决这个问题”，一下子拉近了师生间的距离，让学生感受到了老师的温暖.再如：当学生确定白云山位置遇到困难时，老师及时追问：你认为确定白云山的位置比确定石梁中学的位置难在哪里？学生马上发现白云山不在格点上.通过老师有效的追问，学生的迁移能力悄无声息地得以提升——把格点上的做法牵移到非格点上，思维顿时开朗；而从特殊的格点位置到任意位置的确定，从特殊到一般的思想也在无声地向学生渗透着，学生在思想方法的推动下自我前行.

4．理解反思、探寻数学课堂教学的不足

每一次的课堂总给我们留下点儿遗憾.比如，教材中提到的“在一定范围内每一个有序数对就能确定一个物体的位置”，倘若在课堂中揭示有序数对与平面内的点一一对应之后，与学生一起探讨解读，当学生学习函数自变量的范围时，再次回忆起这个内容，那又是怎样的欣喜呢？所以唯有更加深入地钻研我们的教材与课标，才可以知道更多，了解更充分，才能把课堂真正还给学生.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.姜鸿雁.追求自然生长的课堂教学——听“平方差公式”有感［J］.中学数学（下），2014（9）.Z探究解题思路的工具，尤其在很多应用题中应用十分广泛.在教学中，我们不能仅停留在就题解题的教学层面上，应为学生的数学学习进行长期铺垫.因为，线段图实际上就是初中阶段数轴的原始状态，学生在作线段图的过程中，能感知到线段的长短和题目中各个数量之间的关系，虽然没有呈现单位长度和正方向，但他们在无形中已经积累下了“缺少单位长度和正方向的数轴”的经验.对数轴的学习来说，画线段图无疑是极为宝贵的活动经验，在展开学习前应采取有效方式加以唤醒.