浅谈“点乘法”在解题中的应用

段刚山

我们知道，若设直线与圆锥曲线的两交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），将它们分别代入圆锥曲线方程并对所得两式作差，可得到一个弦AB的中点坐标与直线AB的斜率（若斜率存在）之间的关系式，由此可以大大减小运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.

当然，“点差法”的运用有一定的局限性，类似的问题当应用“点差法”无效时，我们不妨可用下面的“点乘法”，即将直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别代入圆锥曲线方程并将所得两式相乘，可得到一个三角形△OAB（O是坐标原点）的面积与弦AB的端点坐标之间的关系式，从而可以大大减小运算量，我们称这种代点相乘的方法为“点乘法”.下面仅以2011年山东高考理科数学第22题，和2013年山东高考文科数学第22题为例谈谈“点乘法”的应用.

例1（2011年山东高考理科数学第22题）已知直线l与椭圆C：x23+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S=62，其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明x21+x22和y21+y22均为定值；

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OM·PQ的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=62，若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.