高中数学新教科书中数学史料的内容选取及其运用水平分析——以人教A版必修教科书为例

别尔克·阿尔克拜

(伊犁师范学院数学与统计学院，新疆 伊宁 835000)



高中数学新教科书中数学史料的内容选取及其运用水平分析
——以人教A版必修教科书为例

别尔克·阿尔克拜

(伊犁师范学院数学与统计学院，新疆 伊宁 835000)

本文根据《普通高中数学课程标准(实验稿)》分析数学史的内涵及要求，以人教A版必修教科书为对象，通过调查发现，史料选取全面且思想方法突出，关注了各国数学史料，但对应用关注不够，侧重于民族主义和西方中心主义等问题；史料运用注重与相应内容的融合，与史料类型匹配，但以低层次运用为主，史料类型与其运用间关系不清。本文认为运用数学史中对其内涵的理解不全面，单纯的工具定位，运用水平低且与预设目标间关系不清。为此应强调加深认识，准确定位数学史；厘清预期目标、运用方式及其相互关系，重视设计和开发相关资源。

高中数学新教科书；数学史料；内容选取；运用水平

1972 年HPM(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics)的成立，标志着一个独立学术研究领域的出现。至今HPM 已经成为国际数学教育的新思潮之一[1]，正如李文林教授所说“重视数学史在数学教育中的作用,当今已经是一种国际现象”[2]。实现这种预期作用不能仅靠简单介绍数学史，而应该首先要将期望转化成要达到的有意义的具体目标；其次，是针对目标精心规划资源开发和实施方式等。关于运用数学史的目标定位主要体现在各国数学课程标准中，而针对目标的规划最直接体现在各种数学教科书中。在我国“运用数学史进行数学教育的理论和实践都获得了长足的进步”，“数学史知识,在《国家数学课程标准》和各种教材中系统地出现”[3]。因此，本文首先明确《普通高中数学课程标准(实验稿)》(下文简称《高中课标》)中有关运用数学史的定位，阐述数学史的特定内涵及其要求；其次，调查我国具有代表性的高中数学教科书中规划运用数学史的现状；再次，结合现状分析运用数学史的目标实现情况；最后，提出进一步讨论规划的改进意见。

一、作为载体的数学史

在《高中课标》[4]中，前言、内容标准、实施建议等部分均有多处明确涉及数学史的论述。仔细分析发现，这些论述涉及的数学发展史、数学文化史，数学史主要被看作为是数学本质、数学文化的载体。作为数学本质载体的数学发展史主要是立足于数学本体看待数学，而作为数学文化载体的数学文化史则主张数学是人类文化的重要组成部分，要“站在人类文化的层次看待数学及数学与人类文化之间的关系”[5]。作为数学本质载体的数学发展史主要被定位为促进学生学习数学内部概念、理论等要素的工具。如《高中课标》前言部分课程的基本理念7“强调本质，注意适度形式化”中的“追寻数学发展的历史足迹”，强调回顾数学发展史，认识数学与现实生活、与其他学科的紧密联系，有助于说明形式化的必要和全面形式化的不可能，进而应将高中数学课程返璞归真，揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质。作为数学文化载体的数学文化史是数学文化的重要组成部分，是学生学习的目标之一。如《高中课标》前言部分课程的基本理念8“体现数学的文化价值”中的“数学课程应适当反映数学的历史”、“设立‘数学史选讲’”，是为帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观而设立的学习内容和要求。值得注意的是，将《高中课标》中有关数学史的论述分为数学发展史和数学文化史。事实上，两者统一于高中课程内容的学习之中，两者区别只在于内容学习中目标定位的不同。如《高中课标》数学1中提出“通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。”《高中课标》数学文化内容不单独设置，要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合，并在数学文化的有关论述中多次明确涉及数学史。如选修1-1中导数及其应用部分单列数学文化，要求“收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。”

《高中课标》对数学史料的选取和教学方式均给出或明或暗的线索和要求。有关内容选取主要强调要符合学生的接受水平，反映不同时代数学发展的特点，强调科学与人文价值、文化价值、应用价值，要讲史实，突出数学发展背景和轨迹、重大事件和人物、重要优秀成果、思想方法等。教学方式应灵活多样，可以是讲故事、介绍背景、讨论交流、专题演讲、专题探究、撰写报告等。

二、高中数学教科书中数学史料的现状调查

(一)调查工具构建

基于上面论述，本文选择具有代表性的人民教育出版社出版的高中数学教科书(A版)(2004年审定通过)必修数学1-5进行现状调查。调查维度如下：

数学史料选取(N)：数学的由来与发展(N1 )，数学与数学家的故事(N2 )，数学的思想方法(N3)，数学的应用(N4)；

涉及的国度(G)：中国 (G1) ，除中国外的东方国家 (G2) ，西方国家 (G3)，多个国家 (G4) ，无明显提及 (G0)；

运用水平(Y)：根据数学史料的显著程度及其与所属内容的紧密程度分为附加(Y1)、直接运用(Y2)和间接运用(Y3)，其中直接运用指明显使用史实作为课程内容，间接运用指提及且基于史实设计课程内容。

(二)调查结果

所选高中数学教科书(人教A版)必修数学1-5共有43处数学史料。鉴于上述调查工具的统计需要，将某些数学史料进行了重复统计，故数学史料统计总量为56。如将数学1中函数的表示法后的阅读与思考分为“函数概念的发展历程”及“《代微积拾级》书影”进行统计。

1.数学史料选取

图1 数学史内容选取

如图1所示，数学的由来与发展(N1)和数学与数学家的故事(N2)所占的比重基本相当，数学的思想方法(N3)所占比重最高，而数学的应用(N4)占比最低。N1:N2:N3:N4近似为2:2:3:1。

2.涉及的国度

图2 涉及的国度

数学史料基本都指明了国度，无明显提及 (G0)的只占9%，且有五分之一的数学史料涉及到多个国家(G4)。中国 (G1)数学史料占比略多于五分之一。如图2所示，但所涉及的国家以西方国家(G3)为主，仅涉及西方国家的就占近一半。而涉及除中国外的东方国家(G2)的最少，占比不足西方国家占比的六分之一。

3.数学史料的国度分布

图3 各国度内容分布

为分析各国具体涉及的数学史料，以及各数学史料的国度分布情况，对数学史料和所涉国度进行了交叉调查。结果如图3所示。西方国家(G3)在史料内容的各个方面均多于其他，数学的应用(N4)占比也最低，其他三方面内容基本均衡。中国(G1)的数学史料整体分布不均衡，数学的思想方法(N3)最多，却没有涉及数学的由来与发展(N1)。除中国外的东方国家(G2)的数学史料量少且没有涉及数学的思想方法(N3)。涉及到多个国家(G4)的数学史料主要是数学的由来与发展(N1)，其他三方面均有涉及但相差不大。无明显提及 (G0)国度的数学史料没有涉及数学与数学家的故事(N2)，其他三方面内容都有涉及且基本均衡。

另外，从各数学史料的国度分布来看，除数学的应用(N4)量少且相差不大外，其他三方面均存在分布不均，也没有出现相关内容。数学的由来与发展(N1)涉及最多的是西方国家(G3)，其次是多个国家(G4)，其他国家的总和占比略高于四分之一；数学与数学家的故事(N2)也是西方国家(G3)最多，超过其他国家的总和，约是中国(G1)的三倍；数学的思想方法(N3)主要涉及西方国家(G3)和中国(G1)，其他国家的总和只占四分之一。

4.运用水平

如图4所示，附加(Y1)、直接运用(Y2)和间接运用(Y3)的比近似为4:3:3。也涉及数学史料的占70%(附加(Y1)和直接运用(Y2))，简单附加于数学内容的数学史料占了五分之二，而明显使用史实作为课程内容的占29%；没有显著涉及数学史料或基于史实设计课程内容的只占30%。

图4 运用水平

5.各数学史料的运用水平

由图5可知，三水平中附加(Y1)离散程度最大，其次是间接运用(Y3)，直接运用(Y2)相对较集中。附加(Y1)水平主要集中于数学与数学家的故事(N2)，在该水平中占比超过二分之一；其次是数学的由来与发展(N1)，与N2一共占该水平的近四分之三。直接运用(Y2)集中于数学与数学家的故事(N2)和数学的思想方法(N3)，且两者基本接近，共占该水平的81.25%。间接运用(Y3)则基本集中于数学的思想方法(N3)，占该水平近60%。

从数学史料内容来看，数学的由来与发展(N1)的运用主要是附加(Y1)和直接运用(Y2)水平，且两者一致，共占该内容的80%。数学与数学家的故事(N2)集中于附加(Y1)水平，占七分之六。数学的思想方法(N3)的运用水平是最高的，主要是间接运用(Y3)水平，占50%；其次是直接运用(Y2)水平，占35%。数学的应用(N4)数量较少，三种水平均有涉及，且基本一致。

图5 各运用水平的数学史料分布

(三)调查结论

由上述调查结果，可以得出如下结论：

1.数学史料的选取较全面，突出数学的思想方法，对数学的应用关注不够，但国别差异较大。西方国家数学史料较全面，数学的由来与发展、数学和数学家的故事、数学的思想方法三者较均衡，数学的应用最少。其他国度都存在缺失或不均衡。中国数学史料突出数学的思想方法，没有涉及数学的由来与发展。除中国外的东方国家没有数学的思想方法方面的史料。涉及多个国家的数学史料主要是数学的由来与发展，其他三方面较均衡。

2.关注不同国度的数学史料，存在民族主义和明显的西方中心主义，但在不同史料上有差异。不明显提及国家的不足十分之一，且有五分之一涉及多个国家。除中国和西方国家外，对其他国家的数学史料不够重视。数学的应用方面各国相差不大，但其他三方面均是西方国家占最大比例，其他国家存在缺失。

3.注重数学史料与相应内容的融合，但低水平运用占较重比例，且在各史料上存较大差异。直接使用和间接使用数学史料占60%，附加水平占40%。附加水平主要是数学与数学家的故事和数学的由来与发展的运用水平，直接运用水平主要用于数学与数学家的故事、数学的思想方法两方面，间接运用是数学的思想方法的主要水平。

4.数学史料的选取与运用间的相互关系受到一定关注，但有待进一步明确。除数学应用外的三个方面数学史料的运用都侧重于某一种或两种水平，而数学的应用没有显著侧重的运用水平。数学与数学家的故事主要用附加的方式表现，数学的思想方法以间接运用为主，只占到50%。

三、运用数学史的目标实现情况

基于前面对《高中课标》数学史运用的目标定位和高中数学教科书数学史料规划运用现状，从数学史含义的理解、运用数学史的定位、运用水平及其与目标间的相互关系分析目标实现情况。

(一)数学史内涵的理解不全面

由前可知，《高中课标》中数学史主要是指作为数学本质载体的数学发展史，和作为数学文化载体的数学文化史。从高中数学教科书数学史料的选取来看，主要是关注作为数学本质载体的数学发展史，而对作为数学文化载体的数学文化史的关注不够。体现为数学的由来与发展占比不高，对数学的应用关注不够，数学史料的选取是民族主义和明显的西方中心主义。同时对数学发展史和数学文化史的统一关注度不够，如“中外历史上的方程求解”，只是流水账似的概述了历史，没有关注其文化价值，还存在离散数学史料，没有围绕数学发展或数学文化加以系统组织，仅仅停留在为数学史而数学史。如“牛顿的‘冷却’模型”没有关注相应内容发展的文化背景，难以揭示其数学本质和文化价值。

(二)运用数学史的单纯工具定位

从前面“作为载体的数学史”已经知道，数学史在高中数学课程中既是促进学生数学学习的工具，同时，也是学生数学学习的重要目标之一。但由于对数学史含义的不全面理解，对作为数学文化载体的数学史理解不深，必然只关注工具定位，而忽视其目标定位。这可从高中数学教科书数学史料选取的侧重点看出。同时，也可从数学史料的运用水平中看出，能作为数学文化载体的数学史料运用水平较低，而作为数学本质体现的数学史料相对使用水平较高。此外，所选高中教科书旁注式、收场白式的数学史料事实上只能是激发学生兴趣或补充说明等作用，对揭示数学本质的作用不明显。

(三)运用水平有待提高，运用水平和预设目标间的匹配亟待明晰

让学生领会数学的本质，了解作为人类文化重要组成部分的数学文化是运用数学史料的关键。但所选教科书中对此类目标强调的太多。同时，对预设目标与运用水平间的匹配缺乏有意识的规划和设计。这导致数学史定位的单一，预设目标不清，或者是对预设目标的实现途径缺乏了解，常出现错位现象。如数学的由来与发展史料应用是附加和直接运用等量齐观。再如所选教科书数学5第二章第一节用毕达哥拉斯的三角形数和正方形数引入数列可能就是典型的“大材小用”，将其解释为研究数时表示方法的需要，而没有选用适当方式有效揭示其所能体现的数学本质和数学文化。

综合前面现状调查可知，所选高中数学教科书对数学史料的规划与运用较好地体现了《高中课标》对作为数学本质载体的数学史的要求。但对数学史含义的理解，运用数学史的定位、运用水平及其与预设目标间的匹配等方面均有待深入研究，进而解决调查结果和结论中所揭示的问题。

四、关于改善教科书规划数学史料运用的讨论

我国高中数学教科书对于落实《高中课标》有关运用数学史的要求做出了积极探索。所选教科书在数学史料的选取、运用及其相互关系方面做出了重要成绩。下面针对所选教科书在数学史运用中存在的问题进行讨论，并提出改善建议。

(一)加深认识，有效解读《高中课标》中数学史的定位

《高中课标》中的数学史具有双重的角色和地位，要在实践中有效解读和落实，需要加深对数学史内涵的认识。这首先必须强调以学生发展为本，关注《高中课标》中的数学史“应为学生成长为完整的人做出贡献”[6]。为此，理解《高中课标》中的数学史内涵时应该强调数学史如何揭示“数学是且一直是以人为本(people-centered)的”[7]，将数学与人的需求联系起来，为数学提供人文之根。进而“数学也应该以人为本的教”[8],“将数学史作为数学学习的重要成分”[9]。因此，无论是作为数学本质载体的数学发展史，还是作为数学文化史都应注重通过数学史将数学与学生的需求和发展联系起来，促进学生成长为完整的人。

其次，《高中课标》中作为数学文化载体的数学文化史将数学看成是人类文化的重要组成部分，从人类文化反观数学，从数学与人类文化整体的关系入手用文化的兴衰系统地解释数学的发展演变。这既要求明确“数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面”[10]，也要求明确“数学知识的内容和结构均由其所属的文化规定，数学知识的研究必须考虑其所嵌入的超越数学的文化结构”[11]。数学文化史强调通过各层次不同文化中数学建构的比较，发现差异和共性。

最后，还需明确数学文化史和数学发展史两者是从不同的视角对同一历史过程审视的结果。前者强调，文化是数学发展史建构的“内在动力”[12]，以系统观点分析数学文化在人类文化中的发展和作用；后者侧重于把数学作为实体，从数学基础、数学与生产实际及自然科学的关系认识数学的本质。

(二)厘清预期目标、运用方式及其相互关系

数学教育中运用数学史的理论和实践中常存在脱节现象。首先是《高中课标》中数学史的定位和运用的预期目标存在不一致，没有深入考虑定位转化为具体的预期目标，理论和实践中确立运用数学史的预期目标时对定位认识不深、关注不够。其次，预设目标和运用方式之间关系不清，常以应然来解释实然，或反之。因此，在有效解读《高中课标》中数学史的定位后，应将此定位转化为具体的预期目标，厘清预期目标、运用方式及其相互关系。作为工具的数学发展史可以从激发动机与情感、提供认知帮助、启示数学发展等方面确立具体目标；作为目标的数学文化史应关注整个数学学科的发生发展，从数学发生发展的动力、机制、社会文化背景的影响及其机制、时空地域等确立具体目标。关于运用方式，本文根据数学史料的显著程度及其与所属内容的紧密程度分为附加、直接使用和间接使用三种。具体可参见前面论述。厘清预期目标和运用方式之间的相互关系“有助于设计者选择适合目标的数学史运用方式；有助于分析教学资源，了解设计者最倾向于运用数学史实现的目标；最重要的是有助于了解在什么程度上设计者选择运用方式时忽视了某些目标”[13]。

(三)重视设计和开发相关资源

《高中课标》中定位的数学史是数学课程的有机组成部分，特别是作为数学文化载体的数学文化史，要求从社会文化视角宏观地解释数学主体、数学活动和数学理论等要素，揭示数学的文化价值及其与学生发展的关系。向学生展示同一文化内或不同文化间数学知识的发展进程与方式，从社会文化审视特定历史时刻竞争性数学研究间的对抗，并基于此重构学生易于接受的呈现方式和教学序列。一线教师的能力、精力和资源等不足以单独完成此项工作。因此，调动数学、数学教育、数学史等相关方面的研究者和实践者，形成特定工作团队，深入研究和开发相关资源是有效落实《高中课标》相关要求的关键。张奠宙先生开发的一些案例或许是前进的灯塔，具体内容可参见数学教学杂志2002年第四期中学教材中的“数学文化”内容举例一文。

[1] 汪晓勤，欧阳跃．HPM 的历史渊源[J]．数学教育学报，2003，12(3)：24-27．

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[3] 张奠宙. 关于数学史和数学文化[J]. 高等数学研究，2008，11(1).

[4] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)[M]．北京：人民教育出版社，2003．

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[6] Fried, M. N.. Didactics and history of mathematics: Knowledge and self-knowledge[J]. Educational Studies in Mathematics, 2007, 66.

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[10] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准(实验) 解读[M].南京：江苏教育出版社,，2004.

[11] Luis Radford. On Psychology, Historical Epistemology, and the Teaching of Mathematics: Towards a Socio-cultural History of Mathematics[J]. For the Learning of Mathematics, 1997,17.

[13] Uffe Thomas Jankvist. A categorization of the "whys" and "hows" of using history in mathematics education[J]. Educ Stud Math, 2009,71.

2014-10-24

别尔克·阿尔克拜(1971-)，男，哈萨克族，博士生，副教授。研究方向：数学课程与教学论。