向量“搭台”，圆来“唱戏”——例谈借助圆解决向量的模与夹角有关的最值问题

张增明

（浙江丽水外国语实验学校）

向量是近代数学中的重要和基本概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。高考命题中往往在知识网络的交汇点上设计试题，而平面向量与圆的交汇命题是常考题型。这类问题往往以平面向量搭建数学“舞台”，以圆中最值问题为“主角”，解决向量中的最值或范围问题.

一、确定问题与圆有关的常见条件

1.定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；

3.△ABC中，若A=α，BC=a则点A的轨迹是△ABC外接圆上的一段弧，并且外接圆直径

4.方程：方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆；

5.平面四边形中，若对角互补，则四个顶点共圆；

6.阿波罗尼斯圆（阿氏圆）：在平面上给定两个相异的点A，B，设P点在同一平面上满足则P点的轨迹是圆，这个圆称作阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

二、借助圆解决与向量模有关的最值问题

（一）利用圆外一点与圆上点距离的最值求解向量模的最值

因此点C在以D为圆心，AB为直径的圆D上.

追根溯源：

1.此类问题中几何法的实质是半径为r圆C上任意一点P与圆外定点M距离的最大值与最小值问题，一般结论是：

2.考题链接

以此为背景，高考及平时的测验中出现了很多典型试题，如：

（1）（2014湖南理，8）已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）

（2）（2014湖南文，10）在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，取值范围是 （ ）

（二）利用圆中弦长的最值求解向量模的最值

追根溯源：

1.本质探究

以上两个问题中用到了两个常见的结论：

（1）在△ABC中，若A=α，BC=a，则点A的轨迹是△ABC外接圆上的一段弧，并且外接圆直径.

（2）直径是圆中最长的弦，而过圆内定点的弦中最短的弦是与过该点的直径垂直的弦.

2.链接高考

以上面的两个结论为背景，在高考中出现了很多典型试题，如：

3.问题拓展

在△ABC中，若A=α，BC=a则△ABC的面积S的最大值为有最大值为

证明：在△ABC中，若A=α，BC=a则点A的轨迹是△ABC外接圆上的一段弧.

此时高经过外接圆圆心，△ABC是以BC为底边的等腰三角形.

（三）利用直线与圆的位置关系求解向量模的最值

因此直线OA与圆C有公共点.如图，作圆的切线OD，连接CD.

（四）利用圆与圆的位置关系求解向量模的最值

因此圆O与圆D存在公共点，显然当两圆外切与内切时，圆D的半径最小与最大，即取得最小值与最大值.

三、教学启示

1.向量问题的代数运算可以有效考查学生的运算、变形能力，但对于解题来说，有时显得过于繁琐，而几何方法不但可化繁为简，更主要的是训练学生的思维，开阔学生的视野，增强学生学习的兴趣，提高解题效率，让学生陶醉于数形结合的美好境界。因此上面例题的解法笔者均采用的是几何法，而平时的教学中也应该多侧重几何法，以揭示题目背后的几何实质。

2.俗话说：“讲什么比怎么讲更重要”，因此在平时的教学中教师应该多多研究高考题，研究高考方向，确定讲什么；多研究高考试题中的通性通法，确定怎么讲，借助圆的知识研究向量模与夹角的最值便是很好的例子.