分类讨论思想与中学数学

温洪

我国的教育改革在不断地进行之中，新教材的编写指导思想如下：（1）素材的选取努力体现数学的本质，联系实际适应学生的特点;（2）展现知识发生发展的过程以及知识间的内在联系，促进学生自主探索;（3）教材重视数学思想、数学方法的指导，有利于培养学生理性思维习惯和创新精神;（4）让学生接受数学的美，接受数学文化的熏陶;（5）反映现代信息技术与数学课程的结合.由此可见，新教材编写的指导思想体现了一种教学理念，即教师应该在指导学生学习数学知识和解决数学问题的同时，培养学生的数学思想，提高数学思维能力，增强解决实际问题的能力.数学是一门思维的学科，思维能力是数学学科能力的核心，而数学的思想方法就是数学中所蕴涵的一般的思维规律，是数学的灵魂.作为数学思想的一个重要的组成部分，分类讨论思想在数学知识的联络上和解决数学问题的应用上，都起着重要的作用，也是历年来高考的重点之一.

分类讨论思想和中学数学中的许多知识点有着紧密的联系，比如，（1）数的分类;（2）圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系;（3）一元二次方程根的判别式与根的情况;（4）中学函数等.我们通过上面几个知识点的研究说明数学的分类讨论思想在中学数学中所起的重要作用——学习知识巩固知识，发展严谨与理性的思维，增强学生解决实际问题的能力，沟通数学知识与现实生活.

一、数与分类讨论思想

我们从小学、中学到大学学习了不同的数，有自然数、整数、正整数、零、负整数、有理数、无理数、实数、虚数、复数，各种各样，形形色色，但是我们有了分类的思想，他们之间的关系是可以理清的.这就是分类讨论思想，它将看起来有些混乱的对象紧紧地联系在了一起，使我们可以把握全局.在学习知识的过程中，正是有了这样的思想才使学习变得简单起来.同样，分类讨论思想在学习知识巩固知识上的重要作用还可以体现在离心率e与圆锥曲线的关系上.

二、一元二次方程根的判别式与分类讨论思想知识点

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是：Δ=b2-4ac，当Δ>0时;Δ=0;Δ<0时方程分别有两个不相等的实数根;有两个相等的实数根;没有实数根.我们研究一个根的判别式问题，从中可以看出分类讨论思想在发展严谨与理性思维上具有不可替代的优势.

三、圆锥曲线与分类讨论思想

在学习圆锥曲线的时候，分类讨论思想把看起来陌生的几种曲线有机地结合在了一起.我们利用离心率e将圆锥曲线进行

分类.

第一种情况：0

椭圆的另一定义是：曲线上一点到定点的距离和到定直线的距离的比是一定值e，0

第二种情况：e>1

双曲线的另一定义是：曲线上一点到定点的距离和到定直线的距离的比是一定值e，e>1，这种曲线叫做双曲线，双曲线的离心率在圆锥曲线中较大.

第三种情况：e=1

抛物线的定义是：曲线上一点到定点的距离与到定直线的距离比是e，e=1，这种曲线叫做抛物线.

这样，几种圆锥曲线在我们的印象中便成为一个整体.这充分体现了分类讨论思想在知识的构建上所起的重要作用.学习者并不是把外界的知识搬到记忆中，而是在已有的经验为基础通过与外界的相互作用来构建新的理解.数学的概念是从那里来的？冯诺依曼答曰：“数学来源于经验.”可知数学的源是经验与自然科学，但必须经过数学家的严格的精细的加工.分类讨论思想在这里就是这样的经验，在它的基础上，我们能够更好地把握数学知识.中学数学教学应当注意知识和思想之间的内在联系——知识促进思想，思想反过来增长知识.数学思想方法产生于数学认知活动，又反过来对数学认知活动起重要指导作用，它是数学知识的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁.分类讨论思想在知识的结构化方面的应用使数学知识的学习变得轻松，也使我们有理由相信在将来的教学中，我们能够贯彻这种思想促进知识学习的理念.下边进一步研究分类讨论思想在知识的结构化方面和解决问题时的重要作用.

“物以类聚，人以群分”，将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法.分类是自然界中的基本逻辑方法之一，数学中的分类讨论思想是：按照数学对象的共同点和差异点将数学对象分为不同种类的思想方法，分类以比较为基础，通过比较，识别出数学对象的异同点，然后根据共同点将数学对象划分为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为有一定从属关系的等级系统.通过分类讨论思想，知识结构清晰而准确地呈现在我们面前.在数学教学过程中，许多教育工作者注重数学知识的灌输，却忽视了数学思想的培养，而数学思想作为数学的灵魂，对于数学的学习与应用都起着决定性的作用.为此，从一道数学竞赛题出发研究分类讨论思想在中学数学中所起的重要作用.

参考文献：

张宏斌.现代数学思想与中学数学教育[D].辽宁师范大学，2005.

编辑 王团兰endprint