面向数学教育的TPACK研究*

徐章韬，玄 德

(1.华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079；2.华中师范大学 计算机科学学院， 湖北 武汉 430079)

面向数学教育的TPACK研究*

徐章韬1，玄 德2

(1.华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079；2.华中师范大学 计算机科学学院， 湖北 武汉 430079)

TPACK研究应深入到具体学科之中。数学教师TPACK结构模型可以聚类成四个成份：技术的观念和运用、内容的深度和宽度、基于技术的数学教学、基于技术的课堂管理。此结构模型指引了数学教师的TPACK发展之路。根据该模型，分阶段渐次发展TPACK，把设计学习法和类型活动法融合起来，发展教师对技术与内容、学生学习的理解；然后通过微格教学法、课例研究法、发展实验法等方式发展TPACK中的教学法成份，有助于卓越数字化教师的培养。

TPACK；结构模型；发展策略

一、面向学科教育是技术与课程整合的发展方向之一

信息技术与学科课程整合之路很曲折。自20世纪90年代以来，美国探索“信息技术与课程整合”途径与方法的过程大致可划分为三个阶段：基于网络的探究阶段；运用技术加强理科学习阶段；TPACK阶段[1]。通过教育信息化在教学过程中的应用，实现教育质量的显著提升是教育信息化的重大意义所在。《普通高中数学课程标准(2003)》也指出，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响[2]。教学应恰当地使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，进而探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。NCTM在《学校数学教育的原则和标准》中，特别设置了一个“科技原则”[3]。这一原则认为，现代科技不仅有助于提高学生的学习，而且也有助于提高数学教学的有效性，甚至影响到数学课程的合理设置和组织。虽然计算机、网络和其它数字技术(如数码照相机、数字投影仪)在第一阶段得到了充分发展，但美国教育部2010年发布的《国家教育技术规划》指出，大多数教师并不能很好地把技术运用到他们的教育实践中。在我国，情况也是类似的。“粉笔+黑板+教科书”依然是课堂教学的主旋律。学科教育信息化的道路任重而道远。

TPACK概念指引了信息技术与学科课程整合的新方向。Gardner认为学科思考可能是人类最伟大的发明，进行学科教学是学校教育最重要的、最不可替代的目的。学科通过发展知识、方法、目的和表征的过程，成为强有力的认识世界的视角[4]。由于每个学科的旨趣、研究方法和研究结果都不尽相同，实践已经证明，罔顾学科特点，在学科教育信息化中追求普适信息技术的做法是行不通的。从已有的研究来看，焦建利等[5]、詹艺等[6]在综述了当前国内外TPACK的研究议题及其进展后，认为深入到具体学科中研究教师课堂实践中的TPACK应是未来的研究方向之一。祝智庭也支持该看法[7]。姚姿如等基于对西方教育信息技术知识研究的回溯，指出TPACK已逐渐成为教育信息技术知识研究的基本取向。如果要充分发挥教育信息技术在课堂教学中的优势，教育信息技术知识应凸显“技术服务学科教学”的价值诉求，将普适化的教育技术知识改造为关注具体学科内容和教授方法的“学科化”的教育信息技术知识[8]。Jimonyannis创立了科学学科教育的TPACK框架——TPASK(Technological Pedagogical Science Knowledge)[9]，Lesser和Groth 提出了面向统计学科教育的TPACK框架——TPSK(Technological Pedagogical Statistical Knowledge)[10]。关注基础教育的信息化是我国《教育信息化十年发展规划(2011-2020年)》的意志体现，2014年国家正式启动“卓越教师计划”，培养卓越中学数字化教师是其中一个重要子项目。数学教育是基础教育的重要组成部分，在数学课堂教学中有效地使用技术，是数学教育工作者长期考虑的一个问题。詹艺等通过设计学习法和自我提问策略设计微型课程并进行实验，通过前后测的对比，师范生的TPACK得到了发展[11]。为了更好地落实国家意志以及推动学科教育的信息化，培养卓越数学数字化教师，应深入到数学学科中研究TPACK，应关注数学教师的TPACK。

二、数学教师TPACK结构模型

虽然研究者提出了不少TPACK概念框架，还从不同方面发展了TPACK的结构模型[12][13]，但结合具体的数学学科讨论TPACK时，还需要提出切合其学科特点的TPACK结构模型。以往考虑技术在数学教育中的整体应用时，我们曾过分地聚焦将“什么”技术拿来应用，而很少关注这些技术可能“怎样”被应用于教与学。对数学教育工作者而言，界定在数学教学中如何最有效地应用技术是一个结构不良问题，为应对这种窘境，需要一个框架来思考技术与课程整合。虽然国内有研究者提出了数学教师TPACK结构模型TPMK[14]，并对之进行了诠释，但这个模型移植、借鉴的痕迹太重，需要重新审视。

Guerrero[15]结合数学学科的特点，把TPACK细化成四个成份：技术的观念和运用(Conception &Use of Technology)、基于技术的数学教学(Technologybased Mathematics Instruction)、基于技术的课堂管理(Technology-based Classroom Management)、内容的深度和宽度(Depth & Breadth of Content)，如下图所示。

技术的观念和应用是指教师对用技术支持数学的学与教有全面的认识，认为在技术的支持下应如何教授数学，学生应学习什么样的数学。这个成份是教师做教学决策的基础，具有价值取向、目标定位作用，从而使得学科内容在技术的支持下更易于学生理解。教师必须决定如何更好地运用技术去阐述学习心理、内容和教法之间的关系，然后决定哪种技术能更好地实现这些目标。知道如何以适当的教学方式运用技术，真正地支持教学而不是作为一种辅助的显示、呈现工具。一般地，教学上的恰当运用是指能用技术动态呈现和明确表述数学的旨趣、内容、方法和实质，通过最有用的表征、演示、例子和应用把“抽象栖居在形象之上”，把变化中的不变性和不变量揭示出来，推动学生对数学更好地理解，能无缝式地整合技术以提高数学探究、推理、情境化的学习及应用等。

基于技术的数学教学是指在技术支持下进行数学教学时教师知识和能力的调用。按此观点，教师需要把技术理解成一种教学工具，它不能代替教师，它只是教师教学技能的一部分。在技术支持下进行教学时，为了达到教学目的，要把技术融入到有意义的课程和教学框架之中。一旦教师已经选择了某种技术工具，教师必须考虑工具如何最有效地实现教学目标，表达教学内容，要有能力精心安排课堂环境，并充分利用由技术即兴创造的各种生成性资源，要有能力适当调整技术的运用，以适应不同数学能力、情感和兴趣的学生的多样化需求。例如，知道学生对圆锥曲线的焦点、准线的来源不清楚的根源，并能用超级画板等动态技术展示焦点、准线的来源，及时解除学生的困惑。能娴熟地使用技术，不会花费太多的时间就能达到教学目标。

基于技术的课堂管理是指在处理与技术支持下的学与教相关的管理问题时，教师知道如何处理学生对待技术的态度和运用技术时的行为；知道学生学习的困难所在，有能力使学生保持对技术的投入；知道如何运用技术为学生提供最真实的学习环境，使学生沉浸在虚拟环境提供的真实问题情境之中；知道如何正确处理好外在兴趣和内在理趣之间的关系。在教学中运用技术时，同时也引入了很多管理变量和问题，这是在传统教学中很少遇到的。例如，教师如何处理把计算机作为一种物理屏蔽遮挡而脱离学习任务的行为，如何处理把手机当作一种泛在学习的工具而偏离了正常的教学任务，如何处理学生使用iPad时的参与情况，及时回应学生等。

内容的深度和宽度是指教师必须有责任担当，能在一定深度和宽度上理解数学和数学课程。通过技术开发，能不断影响内容的深度和宽度，学生可能会提出教师没有准备处理或介绍的主题和思想。教师对此要持开放的心态，并承认自己之不足，乐于投入时间和精力，独立地钻研各种各样的主题内容，并把它通俗地呈现给学生。例如，学生若能在学习圆锥曲线之后，仿照其定义提出卡西尼卵形线的技术实现问题，教师要有能力回应学生的要求。又如，等宽曲线是微分几何中的一个内容，又是一个很有趣的初等数学问题，如何实现等宽曲线在平面上的滚动，对教师知识的深度和宽度无疑提出了挑战。

数学教师TPACK结构模型是从技术观念、技术管理、技术对教学法的作用和技术对学科内容的作用等方面解析的，强调了面向数学教育的TPACK的独特性。数学教师TPACK结构模型超越了知识学习意义上的技术工具和技术操作的学习，在本质上达到了如何操作技术以提高数学教与学的境界。尽管这种知识包括学习最基本的操作技能，但它体现的是技术与教学最相关的侧面。技术对学情、内容和教学错综复杂的作用在数学课堂中表现得更加变化多端，课堂中的技术运用有潜力改变所教的内容，提供新的视角解读内容，也能改变教学的方式，吸引学生的注意。例如，张景中院士曾用超级画板做过一个课件，在三角形底边上任取一点，制作其动画，把这点及与底边相对的顶点连接起来，形成一条线段，追踪线段的中点，当动画运动起来时，中位线形成了。这样，中位线的表征一改过去的静态表象，能动态生成了，还渗透了一一对应等数学思想。这样的处理法也能很好地吸引学生，不只是因为表面上的动态热闹，而是因为其理趣——虽然是基本的初等数学内容，但在技术的支持下，却能使学生走得更远，他们在操作中体悟高等数学的思想。技术在数学领域中对学情、教法和内容的影响非常不同于技术对其他领域的影响，数学教师TPACK的核心成份不同于其他学科领域。数学教师在运用技术时，技术知识成为教学知识基础体系中的一部分，显示出数学教学科教育的独特性。

数学教师TPACK模型提供了一种观测、分析教师技术与课程整合的理论视角，指明了教师在技术支持下专业发展的一个目标或标准。在达到这个目标或标准的过程中，数学教师TPACK是通过哪些路径和方法发展的，围绕哪些主题展开的，在这个过程中能达到怎样的水平，还要进一步探讨。

三、数学教师TPACK的发展

有数学学科特点的TPACK结构模型是数学教师是将技术应用于数学，演绎精彩课堂教学的重要知识基础。Collbert和Boyd等给出拥有深厚TPACK教师的特征[16]：“(1)拥有深厚TPACK的数学教师能自发地尝试新技术支持的课堂教学，并相信在师生的共同努力下，将取得良好的效果；(2)拥有深厚TPACK的教师将有效地关注数学概念，并充分利用技术营造的教育机会；(3)拥有深厚TPACK的教师会努力知道学生将在哪里遇到概念困难，如何过渡到下一步，如何让学生通过精心设计的课堂互动和任务序列达到一定的水平；(4)拥有深厚TPACK的教师时常向学生说明“为什么”特定的技术对某一数学主题的教学是有效的；(5)拥有深厚TPACK的教师明显地有技术管理能力，如能运用标准化测试提供的数据指导教学，这种数据驱动的决策过程帮助教师选择课程进度；(6)拥有深厚TPACK的教师将是实现教学变革的热心者”，这样的教师可谓数学数字化教师。

如何基于学科，培养和发展教师的TPACK，回应国家的意志，需要在培养机制上进行探讨。Fuson等[17]提出了教师指导学生学习数学的三个原则：教师必须关注学生先前的理解，必须帮助学生建立事实性知识的坚实基础，必须帮助学生采取元认知方法监控他们的学习。这种框架与深厚的内容准备和技术运用相结合时，将有助于培养和发展教师的TPACK。目前，发展教师TPACK的主要路径包括：设计学习法、学习活动类型法、基于微格教学的课例研究法和教师发展实验法等。设计学习法是以小组合作的形式，让参与学习的教师把真实问题在虚拟环境中建模表达出来，开发针对真实数学问题的技术解决方案，参与学习的教师成了“认知学徒”，与同伴一起探索与数学学习有关问题，获得对技术、设计和数学学习的有关认识，从而发展TPACK。学习活动类型法强调教师要围绕教学目标选择恰当的学习活动类型，或探究学习，或有意义地接受学习，再选择恰当的技术和资源，在开发系统的、基于课程的活动实践中发展TPACK。基于微格教学的课例研究法建立在微格教学和课例研究的基础之上，教师先集体备课，然后逐个试讲，循环进行，最后集体准备一份教案并报告学习的体验，在反复打磨中发展TPACK，这种做法如教师准备常规的公开课、竞讲课。教师发展实验法通过课堂观察、深度访谈和问卷调查等方式收集课堂教学中的质性数据和量化数据，试图刻画教师TPACK发展的动态过程，供教师自我对比、参考。

背景化、实践性的方法是提高教师TPACK的有效行动研究方法。Özgün-Koca等[18]探讨了在方法课和实习课中职前教师TPACK是如何发展的。研究认为，职前教师TPACK的发展关联到他们从数学学习者到数学教师身份的变化。职前教师对于技术在数学课堂教学中的作用，还存在着很大的不足，这源自PCK和TK结合的缺失。职前教师的优势更多地表现在技术上，对数学的理解、对学生心理的理解、对教学的理解还有待提高。Hardy[19]运用X-Tech项目提高了职前初中数学教师的TPACK，同时也提高了他们对这种知识的理解。实践取向的方法，能满足职前教师技术上的需要，也是推动这种学习富有成效的必要条件之一。运用多种方法探究与学生数学水平相适合的问题，规划融合技术的课堂，审视技术资源将有助于提高教师的TPACK。Polly[20]通过一个学期的技术在数学中的整合发展项目，关注运用基于技术的教法(如丰富的数学任务和问题策略)去教数学。运用课堂观察、观察专业发展进程及录相带分析工具考察了三个问题：审视教师如何整合技术与课程，检测教师实施中的TPACK及考查专业发展支持的和教师实施的TPACK之间的关系。研究认为，需要进一步设计以学习者为中心的专业发展模式，更有效地推动教师TPACK的发展，实施TPACK需要高层次的思考技能，需要审视以学习者为中心的专业发展模式、TPACK及学生学习之间的关系。

基于以上TPACK发展机制研究和TPACK行动研究法，Niess等给出了数学教师TPACK的发展模型主要主题的指标描述。数学教师TPACK发展模型主要围绕技术使用、课程和评价、学习、教学展开。以技术为抓手，关注技术对课程、教学、学生学习心理的能动作用，是数学教师TPACK发展模型的重要特征。这是数学教师TPACK模型的动态展开。后来，Niess又用TPACK的水平层次(识别、接受、调整、探究和推进)扩展了相关的描述。TPACK的发展有五种水平[21]：(1)识别：教师会用技术，并认识到技术和数学内容可以相结合，但还不能整合技术到数学教学中；(2)接受：教师在观念上或赞成或不赞成在教学中使用适当的技术；(3)调整：教师因参与了一些活动，由此开始选择或者拒绝在教学中使用合适的技术；(4)探究：教师积极地在数学教学中整合合适的技术；(5)推进：教师评价数学教学内容与合适的技术整合的效果。扩展了的数学教师TPACK发展模型，提供了详细的行动方案，教师在教学中调整技术，促进学生学习的同时，也会积极主动地投入到这些活动中。当结合具体教学主题，描述和评价教师TPACK水平时，这个模型非常有用，教师通过比对，然后规划自己数学教学在技术支持下的专业发展。如对“使用”这个主题，在识别水平，学生若用计算器处理问题中的数据，有的教师认为合适，有的认为不合适，这往往会引起争论；在接受水平，教师支持学生使用计算器探究函数和模型；在调整、适应水平，教师支持学生使用动态几何软件探究函数间的关系并形成有机的网络联接；在探究水平，教师支持学生使用图形、图表、符号和数据，解决真实情境中的方程组并给出解释；在推进、提升水平，教师支持学生使用网络或从其它途径发现有趣的数学问题，并探究技术在解决这些问题中所发挥的作用。

数学教师TPACK发展模型建立了一种过程性的结构和语言，帮助研究者在一个更大的背景中，梳理各种研究成果之间的关系，理清TPACK主题的发展脉络。作为培养教师有效地在课堂教学中运用技术的结构化模型，数学教师TPACK发展模型提供了培训项目的关注点，帮助在教师培训项目中如何把内容、学习心理、教学法和技术统筹起来考虑，这对数字化教师的培养具有深远的意义。

四、数字化教师培养的着力点

具有数学学科特点的TPACK研究目前还很少，显然不符合TPACK研究强调技术要与具体学科内容整合的特点。我们需要克服这一局限性，深入到学科之中研究数学教育中的TPACK，培养卓越数字化教师。

首先需要有恰当的、有数学学科特点的学科工具平台。数学研究中的数学活动是为了探索未知的事实和规律，要的是创新。工程技术中的数学活动是为了得到实用的数据和方案，要的是结果。教学中的数学活动既不是为了获取新的数学结果，也不是为了解决实用问题，它是为了说明思想概念、阐述道理方法、指导操作训练[22]。基于此，信息技术与学科课程整合的突破口在于有适当的、深入学科的、能表现学科活动特点的信息技术工具。如动态几何软件系列中的超级画板、几何画板、法国的Carbi3D、美国的GeoGebra 等都是面向学科、深入学科的信息技术平台。然而像3DMAX是集造型、渲染和动画制作于一身的三维制作软件，功能强大，但却不一定适合立体几何的教学，教师若是基于此发展立体几何教学的TPACK就走上了歧途。对其他学科，也需要深入学科的信息技术工具。Cubase是全功能数字音乐、音频工作软件，Sibelius世界上功能最强的写乐谱的音乐软件之一，这些都是深入音乐学科的信息技术工具。这些学科工具平台都可以在电子双板环境中运行，为教师发展TPACK提供了平台建设上的保障。在数学教育中，自从有了超级画板等学科工具平台后，一线教师很少用PPT、Flash等普适软件做课件了。一线教师充分利用这个平台，在其中实施变易理论等学习理论[23]，切合了数学研究变化中的不变量和不变性的学科特点，抓住了数学最本质的东西，让学生看到了数学活的灵魂，获取数学基本活动[24]。数学教师的TPACK中的技术成份，指的就是深入学科的信息技术。

妥善处理好技术与内容、学习心理和教学法之间的关系，分阶段渐次发展TPACK。在用技术支持教学时，教师经常遭遇到的问题是不会用技术实现要表达的效果。究其原因，不是教师不熟悉技术的基本操作，而是教师不会充分挖掘技术的功能，不会让技术“听人的话”，实现人的意图。可以采取的措施是，把设计学习法和类型活动法融合起来，让教师在解决真实问题的过程中，发展教师用技术提供的语言解析现象、建模现象的能力；发展教师对内容的深刻理解，从而迸发课件制作的创意。根据课件制作的实践过程，不会制作课件，不是不会基本操作，而是教师不会用技术提供的语言解析现象、对现象进行建模。当教师的课件制作水平达到一定程度、运用自如之后，发展了技术与内容相互作用的知识，技术变成了手中的武器，运用技术的观念也会随之发生变化，在教学时也有能力和时间关注一些与学生有关的管理问题、心理问题。这与在常规环境中，教师的专业成长路径有相似之处：教师若连内容都吃不透，心中自然没有底气，不能挥洒自如，更不会关注教学的艺术性了。

要关注技术与学习心理之间的关系。技术之所以要用到课堂上，不是为了“炫”技术，而是以技术为云梯，缩小数学家的思维方式与学生思维方式之间的间距，时时要考虑学生的认知心理，“预测”学生的认知困难所在，考虑如何用技术较之传统手段更有效地克服这种困难，还要能“诊断”学生的认知错误的根源。技术的优势在于动态化、可视化，于形象中能把道理说清楚，用技术手段营造虚拟环境或制作动态作品从根本上根治学生的认知错误。基于学习理论，把技术更好地与课程融合是一个值得研究的方向。

故而，要“先实后虚”，再让教师通过微格教学法、课例研究法、发展实验法等多种方式发展TPACK中的教学法成份。教师在技术的支持下，能更有激情，更有表演的艺术情怀完成每一个主题的教学任务，技术成了教师手中的“法宝”。

综上所述，数学教师TPACK结构模型是很科学的，可以聚类成两大类：技术的观念和运用，内容的深度和宽度；基于技术的数学教学，基于技术的课堂管理。前者实，后者虚；前者体现的是科学，后者体现的是艺术；教学既是科学，也是艺术，需要教师有多方面的才能，数学教师的TPACK结构模型指引了数学教师的TPACK发展之路，指引了卓越数字化教师的发展取向。

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徐章韬：副教授，博士后，研究方向为教师知识(xuzhangtaoyuanyuan@126.com)。

2014年12月20日

责任编辑：宋灵青

TPACK in Mathematics Education

Xu Zhangtao1, Xuan De2
(1.College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan Hubei 430079; 2.College of Science of Computer, Central China Normal University, Wuhan Hubei 430079)

The study of TPACK should go into specific disciplines. The TPACK structure model of mathematics can be clustered into four categories: the depth and width of content, conception & use of technology, technology-based mathematics instruction,technology-based classroom management. According to this model, the development of TPACK can gradually be built up. Through of integration of learning by design and using learning activity types, teachers can deeply disclose the relation between technology and content. Based on this, teachers can develop TPACK by the way of microteaching, lesson study and teacher development experiment. TPACK structure model in mathematics guides a way to develop mathematics teacher TPACK. All of this can benefit the development excellent digital teachers.

TPACK; Structural Model; Development Strategy

G434

A

1006—9860(2015)05—0105—06

* 本文系中国博士后科学面上基金“深入学科的信息技术支持下的数学学科教学知识”(项目编号：2011M501213)、中国博士后科学基金特别资助“信息技术推动数学历史文化走进数学课堂之研究”(项目编号：2012T50656)研究成果。