浅谈直线与圆位置关系的题目类型

●江苏省如东丰利中学 戴荣春

浅谈直线与圆位置关系的题目类型

●江苏省如东丰利中学 戴荣春

在直线和圆的位置关系章节，我们要求学生熟练地掌握直线与圆的位置关系及性质、判定定理，在对性质与判定的探究过程中，既要有归纳概括的能力，也要有思维转换的能力，所以这是本章节的一个难点.另外对“相切”要分清直线和圆有唯一公共点是指有且只有一个公共点，这和有一个公共点的含义是完全不同的，这一点在直线与曲线相切时是非常重要的，一般情况下学生比较难理解.直线和圆的位置关系通过直线的方程和圆的方程表示，既是深入研究圆有关性质的基础知识，也是为圆与圆的位置关系打下阶段性的铺垫.在近几年数学高考中，直线与圆位置关系的考题多数出现在解答题和填空题中.笔者结合高三综合测试卷，分析探究直线和圆的位置关系的题目类型.

一、直线与圆的位置关系的判定

直线与圆的位置关系的判定方法比较简单，判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.如果dr，则直线与圆相离.第二种是代数法：根据直线的方程与圆的方程组成的方程组解的情况来判断．如果有两组实数解，则直线与圆相交；如果有一组实数解，则直线与圆相切；如果无实数解，则直线与圆相离.

例1 对任意实数λ，直线l1：x+λy-m-λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是_____．

分析：由直线l1的方程可得它经过定点（m，n），结合条件可得点（m，n）在圆C的内部，故有m2+n2＜r2．再求得圆心C到直线l2的距离为可得直线l与2圆C的位置关系是相离.

点评：本题主要考查直线过定点问题，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判断，属于中档题.

二、圆上的点到直线的距离

对于求圆上的点到直线的距离问题，学生没遇到过，往往不知道从何处下手，点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，对于何时达到最大或最小值，要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论.

例2 圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是______.

分析：先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径.

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想及转化与化归思想.

三、截距相等问题

对于截距相等问题，首先考虑截距都为0的情况，截距不为0时要考虑符号必须相同，截距不同于距离，距离是非负的，而截距可以是负的.

例3 与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（ ）.

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

分析：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的2条直线，还有斜率为-1的两条直线.

点评：本题考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，需要灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题.

四、直线与圆相交

直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交.

例4 若直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=100相交于A、B两点，弦AB的中点为（-2，3），则直线l的方程为_____.

分析：由圆的方程找出圆心C的坐标，连接圆心与弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得此直线与直线l垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由圆心与弦AB的中点的连线的斜率，求出直线l的斜率，再由直线l过AB的中点，即可得到直线l的方程.

点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，正确处理直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算能力.

在解析几何中，直线和圆的位置关系是一个非常重要的知识点，对学生的思维方式有着很好的锻炼.考试中出现的题型往往不是浮于表面的，这就要求学生在掌握概念的同时，也要灵活地运用方法，通过仔细观察图形来找到切入点，达到数形结合的目的，从而更快、更准确地找出解题方法.

1.徐飞翔.直线与圆的位置关系的若干问题［J］.高中数学教与学，2012（4）.

2.周栋梁.“显而易见”下的缺失——《直线与圆的位置关系》听课后的感想［J］.中学数学（下），2013（1）.A