渗透思想方法 提升思维品质

朱悦

“知识的掌握也许只能受益一时，而思想的形成、方法的掌握却将受益终身”，这句话耐人寻味，这就要求我们在学习过程中更好地把数学知识的理解、方法的掌握、思想的形成融为一体.而在这之中累积数学思想方法、提升思维品质显得尤为关键.

一、 分类讨论

分类讨论思想是对事物分情况加以讨论，实质是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，相当于增加了题设条件.

例1 （1） 等腰三角形的一个角是30°，求它的另外两个角的度数.

（2） 等腰三角形的两边为4厘米和7厘米，求它的周长.

【分析】（1） 已知条件中的一角可以分为顶角或是底角两种情况；（2） 条件中的两边一定有一边是腰，一边是底，那到底哪边是腰，题目中没有说明，所以都有可能，分成两种情况讨论.

解：（1） 当30°是顶角时，另两角分别为75°、75°；当30°是底角时，另两角分别为30°、120°.

（2） 当腰是4厘米时，则底是7厘米，三边分别为4、4、7，此时能形成三角形，周长为15厘米；当底是4厘米时，则腰是7厘米，三边分别为4、7、7，此时能形成三角形，周长为18厘米.

【点评】因为等腰三角形的三个角有顶角、底角之分，三条边有底边、腰之分，所以在求解等腰三角形边角问题时常需分类讨论.

二、 方程思想方法

许多几何问题从表面上看与方程没有多少直接联系，但是如果认真分析问题的数量关系，通过建立方程，就可以得到问题的解.

例2 如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度数.

【分析】在这个题目中，一个角的度数都不知道，那怎样才能把边的已知条件转化为角呢？通过等边对等角，就可以知道很多角有相等关系，得到了角的关系后，利用三角形内角和180°的隐含条件构造方程，从而求出答案.

解：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD.

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.

∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A.

∵∠ABC+∠C+∠A=180°，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°.

∴5∠A=180°，即∠A=36°.

【点评】本题利用边角之间的转化、外角、内角和把图中的角联系起来，在三角形中，要解决角度有关的问题时，我们常常构造方程.

三、 整体思想

在解与三角形有关的题目时，有些问题直接求解，比较繁琐，甚至无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，迅速获解.

例3 如图2，在△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别垂直平分AB、AC，垂足分别为E、G，求∠DAF的度数.

【分析】若能求出∠BAD、∠CAF的度数，则∠DAF的度数立即可求得；由已知条件，无法直接得到它们的度数，但可以求得∠B+∠C=70°，再利用垂直平分线、等边对等角可得∠BAD+∠CAF的度数，这样∠DAF的度数就可求出.

解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

且∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.

∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，

∴AD=BD，AF=CF.

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAF，

∴∠BAD+∠CAF=∠B+∠C=70°.

∵∠BAD+∠CAF+∠DAF=110°，

∴∠DAF=110°-（∠BAD+∠CAF）=40°.

【点评】当题目中无法求出每个角的度数时，我们往往采用“整体”来转化要解决的问题，在运用整体思想解决问题时要注意等价性.

四、 轴对称变换思想

轴对称变换是我们认识的一种基本变换，通过轴对称变换改变图形的位置，却不改变图形的形状和大小，从轴对称变换的角度去思考问题，有助于我们对几何图形的动态分析，从而更好地理解图形的全等，进而理解线段、角之间的关系.

例4 （1） 如图①，在直线MN上作一点P，使它到直线MN同侧的两点A、B的距离之和最短.

（2） 图②，∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，PO=10，M、N分别是OA、OB上的动点，求△PMN周长的最小值.

【分析】轴对称变换在路径最短问题上经常运用，要解决题（1），作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB=A′B的值最小；题（2）中利用两次轴对称变换，作出P关于OA的对称点P′，P关于OB的对称点P″，将PM+PN+MN转化为P′M+P″N+MN，即三条线段在一直线上时最短；再利用轴对称的特性，得等边△P′OP″，从而求解.

解：（1）

即点P就是所求作的点.

（2）

∴△PMN周长=PM+PN+MN

=P′M+P″N+MN

=P′P″=PO=10.

【点评】利用轴对称变换解决数学问题中的路径最短问题，是通过轴对称变换将不在同一直线上的不同线段，巧妙构造到同一直线上，利用“两点之间线段最短”求解.

（作者单位：江苏省常熟市第一中学）