尺规作图的三大难题

顾志勇

古希腊人用尺规作图，主要目的在于训练智力，培养逻辑思维能力，所以对作图的工具有严格的限制.他们规定作图只能用直尺和圆规，而他们所谓的直尺是没有刻度的.正是在这种严格的限制下，产生了种种难题.

相传德利安人为了摆脱某种瘟疫，遵照神谕，必须把阿波罗的立方体祭坛的体积扩大一倍.后来，这个问题提到柏拉图那里，柏拉图又把它交给了几何学家.这就是著名的倍立方问题.除倍立方问题外，还有三等分任意角、化圆为方（作一正方形，使其面积等于给定的圆面积）等问题.

在数学史中，很难找到像这样长期被人关注的问题.两千多年以来，无数人的聪明才智倾注于这三个问题而毫无结果.但对这三个问题的深入探索，促进了希腊几何学的发展，引出了大量的发现.如圆锥曲线、许多二次和三次曲线以及几种超越曲线的发现等；后来又有关于有理数域、代数数、超越数、群论和方程论若干部分的发展.直到19世纪，即距第一次提出这三个问题两千年之后，这三个问题才被证实在所给的条件下是不可能解决的.

现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决这些尺规作图无法解决的问题.下面的工具就可以用来解决三等分任意角的问题（这样的作图就相当于用量角器三等分任意角，已不属于尺规作图范畴）.你能说出其中的道理吗？

（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）