在比较中孕育数学思维

孙学军

人类通过观察和比较来认识和了解事物，比较是一切思维和理解的基础。我国著名教育家陈鹤琴在其“活教育”思想中提出“比较教学法”教学原则。他认为比较教学法能使学生对于所学的事物，认识得格外正确，印刻得格外深切，记忆得格外持久。

多年的数学教学实践告诉我，比较教学法能够较好地刺激学生的学习内需，有利于帮助学生深刻理解知识间的联系和区别，有效地突破教学难点，促使学生较好地自主建构数学知识，提高思维的灵活度、广度和深度。我们在小学数学教学中可以积极应用“比较教学法”，孕育学生数学思维。

一、在求同比较中培养学生的概括能力

比较教学法是教者在教学实践中引导学生对多个事物进行细致观察、对比、辨析、探寻出异同关系，抽取出某一事物本质的思维过程。通过对同类多个物体信息进行抽象、概括，使其特征趋于集中，以找出该类物体的共同特点，形成一种完满结论，该类比较我们称之为求同比较。小学数学教学中许多知识可以通过求同比较归纳概括得出，并能较好地培养学生的概括思维。

我们在进行一些平面图形的特征、商不变性质、分数的基本性质等内容的教学时，可以引导学生对多个数学对象观察比较，分析、概括它们的共同特征，并发展学生的概括思维。

例如，教学《长方体》时，我给每个小组学生准备了三个大小不同的长方体模型，让各小组对三个不同的长方体进行细致观察，并完成记录单。记录单中填写的内容分别是：每个长方体各有几个面，每个面都是什么形状，相对的面怎么样；每个长方体的长、宽、高各是多少厘米，每个长方体的长、宽、高各有几条，一共有几条棱，相对的棱有什么关系；每个长方体有几个顶点。学生通过观察、填表，再经过对所填数据信息的比较、分析，发现这几个长方体在面、边、顶点等方面都具有相同的特征，从而归纳、概括出长方体的共同特征：有6个面，都是长方形，相对的面形状相同，面积相等；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。

我们不仅在教学概念、特征、性质、规律等时需要进行大量的求同比较，以实现知识求同，还可以在解决实际问题时通过新旧知识、经验的对比，以获得策略求同、经验求同。

例如，教学《梯形的面积》时，由于学生已经学习了平行四边形和三角形的面积计算，对平行四边形、三角形面积计算公式的推导过程、方法已经知晓，并积累了一定的经验，梯形面积计算公式的推导过程和方法在学生的最近发展区内。因此，我就放手让学生依据三角形或平行四边形面积推导计算公式的过程和方法自行探索梯形的面积计算公式，学生很快就自主探究并总结出梯形的面积计算方法和公式。最后，我引导学生一起将梯形面积计算公式和平行四边形、三角形面积计算公式的推导过程及方法进行比照，使学生分析概括出梯形、平行四边形、三角形面积解答策略间的联系。学生在不断的对比中，发展了概括能力，提高了解决问题的水平。

在数学教学各方面灵活运用求同比较，不但有助于培养学生的概括能力，还有益于提高学生新旧知识、解决问题策略和已有经验的迁移，为有效开展自主探究学习提供有力保障。

二、在求异比较中催生学生创新思维

发散思维以其灵活性、多样性、新颖性决定了其作为创新思维的核心地位，在创造能力发展中具有根基性价值。求异比较旨在从多种思路设想出发，寻求变异，使信息朝向各种可能的方向发散，让解决方案多样化，以引出更多的新信息，不断丰富学生的发散思维和创新思维。

在数学教学中，我们应鼓励学生从多角度、全方位地考虑问题，引导学生从不同角度分析各种数学信息。

例如，教学《三角形的分类》一课时，我让每位学生在课前用卡纸任意剪出5个三角形，上课时四人一组，将各自剪的三角形集合在一起，给三角形分类，开展小组合作探究。学生经过一番观察、争论后纷纷摆弄起来，待学生充分活动之后，我让各小组代表展示汇报他们的分类，并说说分类标准。有的小组汇报说：“我们小组是按照角来分的，有的三角形三个角都是锐角，有的三角形有一个直角两个锐角，有的三角形有一个钝角和两个锐角。”我接着问：“其他小组也有这样分类的吗？”其他小组都说也是这样分的，我于是总结道：“你们分得都不错，我们可以将三角形按照角分成三种，三个角全是锐角的三角形叫锐角三角形，一个直角两个锐角的三角形叫直角三角形，一个钝角两个锐角的三角形叫钝角三角形。”“你们还有其他不同的分法吗？”见学生没有反应，我就提示说：“请大家再从边的角度想想，仔细看看每个三角形边的长短关系，比划比划，看看是不是还有其他的分类方法？”有的学生用手比较每个三角形中三条边的长短，还有学生拿出尺子来度量边的长度。经过一段时间的操作活动，他们终于发现：有些三角形有两条边是相等的，有些三角形是三条边都相等的，有些三角形三条边都不相等。我趁机告诉学生：“三角形除了可以根据角来分类，还可以按边来分类，我们把只有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的叫作等边三角形，三条边各不相等的叫作不等边三角形。”我接着引导学生将两种分类标准进行比较，通过比较使学生懂得我们思考的角度可以多样，思维可以发散些、灵活些、开阔些。

我们还可以在教学中设计一些开放性练习，鼓励学生敢于打破常规，跳出思维的框架，以探寻多条解决问题的思路，一题多解，在发散式的求异思维活动中学习提升创新思维。

我们要广泛开展求异比较教学，鼓励学生多角度、睿智地思考问题、解决问题，提高学生思维的广阔性，催生学生的创新思维。

三、在相似比较中孕育学生综合思维

数学综合思维是指综合运用多种思维方法，细致、全面、多角度观察并将获取的数学信息加以整合、提炼，形成科学周全的结论。

在数学教学中开展相似比较教学，可以从几何相似、结构相似、关系相似、方法相似等方面斟酌。在似与不似之间找出事物的细微差别，以使事物的特征、性质、关系、方法更为鲜明准确。

例如，在教学完“长方体的表面积”之后，我让学生应用所学，解决这样一道实际问题：有一种洗衣机长60厘米，宽40厘米，高80厘米，现在要做100个这样的洗衣机套（没有底面），至少需要用布多少平方米？多数学生根据刚刚学会的长方体表面积计算公式，在计算一个机套的用布面积时，先计算出一台洗衣机六个面的面积总和，然后减去一个底面积，列式为：（60×40+60×80+40×80）×2-60×40，再用一个机套的面积乘100。 我发现多数学生在计算一个机套的面积时思维机械，方法老套。于是我引导学生换个角度去思考：我们计算一个机套的面积时可以先计算出一台洗衣机的侧面积，然后加上一个上面的面积。有学生列式为：60×80×2+40×80×2+60×40。学生根据这个思路很快又计算出100个机套至少用布多少平方米。我又鼓励学生改变思考方向：在计算一台洗衣机的侧面积时我们可以用底面周长乘高，再加上一个上面的面积就得到做1个机套所要用的布，算式为：（60+40）×2×80+60×40。最后再乘100，就是100个洗衣机机套的用布数量。

最后，我着意引导学生对这三种解答方法进行比较，比较它们的解题思路、方法的异同，比较它们之间存在着怎样的关系，通过比较使学生懂得这三种方法总的思路是一致的，但是之间也存在细微的差别，第三种解题方法更为方便、简单、合适。

在对数学对象进行观察、联想、类比、归纳分析中使其原本模棱两可的特征、性质、规律更为清晰、深刻，发展学生直觉、形象、逻辑等综合思维，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。

数学使人类的思维得以运用到最为完善的程度，让我们在数学教学中相机开展比较教学，在比较中提升学生数学思维的广阔性和深刻性，孕育学生的数学思维。