函数的单调性与导数之含参问题教学设计

许小华 郑婧婧

导数在新课标卷中以压轴题的形式考查，涉及函数的切线、单调性、极值、最值、含参问题的分类讨论、求参数的取值范围等问题，其中以含参问题求函数单调性和最值为学生的难点和困扰点。因此，在新课学习中，学生学习了运用导数求函数的单调性之后，笔者设计了一节含参函数的单调性问题，以此来引导学生加深对导数的理解并且掌握含参问题的解决。

一、教学背景与教学目标

学生在学习集合与函数章节时经常遇到含参问题，需要进行分类讨论，因此对含有参数的一类问题并不陌生，但是对于含有参数的单调性问题，何时需要分类讨论，以及如何进行分类讨论并做到不重不漏并不清楚，也没有形成解题系统，因此有必要针对性强化。

本节是在学生学习掌握了运用导数判断函数的单调性的基础上，引导学生运用导数对含有参数的函数求解其单调性，使学生掌握解决一类问题的思想方法并巩固已学知识。

二、教学设计

1.复习回顾

求下列函数的单调性，画出导函数的图象，并说出导函数与函数的单调性的关系

（1）y=x3+3x （2）y=sinx-x，x∈（0，π）

（3）y=x2-2x+4 （4）y=x3-x2-x （5）y=x-lnx

设计意图：复习上节课的内容，强化利用导函数图象分析原函数单调性的能力，为含参问题的解决做铺垫

2.探究新知

问题1：求下列函数的单调性

① ②f（x）=x3-3ax

③f（x）=x3-3ax2 ④f（x）= 1-x -alnx

设计意图：在复习回顾的基础上，学生能够自然想到遇到参数何时需要分类讨论，并且如何进行分类讨论，使学生在处理分类讨论问题时能够自然地解决，而不是死记硬背。

以其中一个的解决过程为例：

由题知，函数的定义域为（0，+∞），

当a≥0时，f'（x）<0，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减

当a<0时，函数f（x）在（0，- 1-a ）上单调递减;在（- 1-a ，+∞）上单调递增

归纳：解决含参问题的函数单调性问题时，注意结合导函数的图象，从而清楚何时需要分类讨论以及如何分类讨论，对参数的讨论要做到不重不漏。

3.巩固提升

（2013浙江）已知a∈R，

函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax.

若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程.

若|a|>1，求f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值.

三、教学反思

本节课是在学生基本掌握运用导数分析函数单调性的基础上进行的拓展学习，一方面为后续的含参问题作出基础的铺垫，另一方面巩固强化学生利用图形解决抽象问题的能力。在实际教学中，遇到不少学生对含有参数的问题比较惧怕，一方面是经验比较少，另一方面学生没有好的方法来应对这类问题，因此在教学过程中要根据考试的要求适当地进行含有参数问题的解题教学，重在培养学生掌握数形结合思想和分类讨论思想，弱化学生对参数问题的惧怕心理，强化学生用自然的思路思考和解决数学问题的能力。

作者简介：

许小华（1983～），男，陕西汉中人，研究方向：高中数学。