多项式矩阵求逆矩阵方法总结

廖金萍

【摘 要】本文给出了多项式矩阵及逆矩阵的定义以及求多项式矩阵逆矩阵的三种方法。

【关键词】多项式矩阵;逆矩阵

矩阵是线性代数的主要研究对象之一，在自然科学，工程技术乃至社会科学中均有广泛应用，而矩阵的求逆是矩阵理论中研究的重要问题。本文将教学中有关多项式矩阵的逆矩阵的求法通过例题的方式作一些总结。

一、预备知识

（1）逆矩阵定义：n阶方阵A，如果有n阶方阵B，使得AB=BA=E（E是n階的单位矩阵），则A可逆，且A逆记为A-1，A-1=B.

（2）多项式矩阵定义：设f（x）=a0xn+a1xn-1+…+am，将x换成n阶方阵A，则f（A）=a0An+a1An-1+…+amE称为A的多项式矩阵。

二、求多项式矩阵逆矩阵的传统方法

求多项式矩阵f（A）的逆矩阵，一般可用待定系数法和分解因式法：

1.因式分解法求逆矩阵

例1：设A2-A-6E=0，证明A+3E可逆并求其逆.

解A2-A-6E=A2+3A-4E-6E=A（A+3E）-4（A+3E）+6E=（A-4E）（A+3E）+6E=0即- 1-6 （A-4E）（A+3E）=E，故（A+3E）-1=- 1-6 （A-4E）

2.待定系数法求逆矩阵

例2：设A2-A-6E=0，证明A+3E可逆并求其逆.

解：由待定系数法可设（A+3E）（A+aE）=bE，即A2+（3+a）A+（3a-b）E=0

因为A2-A-6E=0，比较系数可得：

，

解得，a=-4，b=-6

则（A+3E）-1= 1-b （A+aE）=- 1-6 （A-4E）.

三、求多项式矩阵逆矩阵的特殊方法——多项式除法求逆矩阵

定理1：设A为一个n阶矩阵，C为复数域，f（x），g（x）∈C[x]，f（A）=0，则g（A）可逆的充要条件是（f（x），g（x））=1，此时有u（x），v（x）∈C[x]，使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，且[g（A）]-1=v（A），特别地，当g（x）为一次多项式时，利用f（x）=g（x）q（x）+r（r是非零常数）可得g（A）q（A）=-rE，即[g（A）]-1=- 1-r q（A）.

例3：设A2-A-6E=0，证明A+3E可逆并求其逆.

解：设f（x）=x2-x-6，g（x）=x+3利用多项式除法得：f（x）=（x-4）（x+3），所以[g（A）]-1=（A+3E）-1=- 1-6 （A-4E）

参考文献：

[1]万波.巧用多项式除法求矩阵多项式的逆矩阵[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2014，3 .

[2]同济大学应用数学系.线性代数附册（学习辅导与习题选解） [M].北京：高等教育出版社，2009