例举隐含条件的作用

王彦胜

审题是解题的关键，数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的，拿到题目要“宁停三分，不抢一秒”，要在已有知识和解题经验基础上，逐字逐句仔细审题，细心推敲，切忌题意不清，仓促上阵。审数学题有时须对题意逐句“翻译”，隐含条件转化为明显条件;有时需联系题设与结论，前后呼应挖掘构建题设与目标的桥梁，寻找突破点，从而形成解题思路。从某种意义上说，解数学题是一个从题目所列项目中不断地挖掘并利用其中的隐含条件进行推理和运算的过程。一道题，如果由题目中明显给定的条件解决不了，而适用的隐含条件一时又难以找到，这就构成了所谓“难题”。问题的难度一般都与获得适合问题解决的隐含信息的艰难程度成正比。因此，一道数学题，尤其是结构灵活、抽象多变的“难题”，能否正确、迅速、合理地获解，关键在于能否准确地挖掘并使用题中的隐含条件。

题设条件是解数学题的基本依据。但题设条件并不常常都是显而易见的，有时是隐含的，容易令人疏忽。解题时忽视了题设的某些隐含条件，就会导致解题出错。举例分析如下。

一、解方程时需要注意题中所隐含的一些特殊条件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

错解：由因式乘积得x=0或1+logx2=0。

正解：由对数式可知x>0，故方程只有一解。

错因分析：忽视对数中真数大于0的条件。

解方程中还易出现一些忽视隐含条件的情况，如盲目移项、平方等。

二、利用不等式求函数值域

例2：已知函数y=■+x，（x≥3），求值域。

错解：直接利用不等式性质得：y=x+■≥2■=4。

错因分析：忽视不等式取等条件“一正、二定、三等”，当且仅当x=2时，等号才成立。而本题x取不到2，应该改变策略，利用特殊函数的单调性来解决此题。

三、解析几何中定义解题

例3：平面内，到点A（3，-2）的距离与到直线L：2x+3y=0 的距离相等的点的轨迹是（  ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

错解：由圆锥曲线统一定义知答案为C。

剖析：圆锥曲线的统一定义隐含着定点不在定直线上，经验证：本题恰有A∈L，因此应选D。

四、平面几何性质问题

例4：已知凸多边形的内角依次成等差数列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多边形的边数。

错解：设边数为n，则（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：边数为9或16。

剖析：此题忽视了n边形的每个内角不超过180°这个隐含条件，当n=16时，第6项以后均>180°，故正n边形的边数应为9。

五、应用导数几何意义解题

例5：已知b>-1，c>0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）。

错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，从而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依题意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本题前面得到x=■是对的，由于条件不够，就认为f（x）=g（x），造成错解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键。忽视切点在曲线上的隐含条件致错。

六、发现隐含条件简化问题

例6：设f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内是增函数。试解关于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知单调区间，如何转化是关键。而这里面有个隐含条件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一个单调区间内，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函数奇偶性及隐含条件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

从上述例题中，我们知道忽视隐含条件可能问题解决得不够完整，如果发现了隐含条件有的时候可能会帮助我们更好、更快地解决问题。所以在学习数学的过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，进行独立思考，注重新旧知识的内在联系，把握概念的内涵和外延，做到一题多解、一题多变，不满足于现成的思路和结论，善于从多侧面、多方位思考问题，挖掘问题的实质，勇于发表自己的独特见解。因为只有思索才能生疑解疑，透彻明悟。

审题是解题的关键，数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的，拿到题目要“宁停三分，不抢一秒”，要在已有知识和解题经验基础上，逐字逐句仔细审题，细心推敲，切忌题意不清，仓促上阵。审数学题有时须对题意逐句“翻译”，隐含条件转化为明显条件;有时需联系题设与结论，前后呼应挖掘构建题设与目标的桥梁，寻找突破点，从而形成解题思路。从某种意义上说，解数学题是一个从题目所列项目中不断地挖掘并利用其中的隐含条件进行推理和运算的过程。一道题，如果由题目中明显给定的条件解决不了，而适用的隐含条件一时又难以找到，这就构成了所谓“难题”。问题的难度一般都与获得适合问题解决的隐含信息的艰难程度成正比。因此，一道数学题，尤其是结构灵活、抽象多变的“难题”，能否正确、迅速、合理地获解，关键在于能否准确地挖掘并使用题中的隐含条件。

题设条件是解数学题的基本依据。但题设条件并不常常都是显而易见的，有时是隐含的，容易令人疏忽。解题时忽视了题设的某些隐含条件，就会导致解题出错。举例分析如下。

一、解方程时需要注意题中所隐含的一些特殊条件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

错解：由因式乘积得x=0或1+logx2=0。

正解：由对数式可知x>0，故方程只有一解。

错因分析：忽视对数中真数大于0的条件。

解方程中还易出现一些忽视隐含条件的情况，如盲目移项、平方等。

二、利用不等式求函数值域

例2：已知函数y=■+x，（x≥3），求值域。

错解：直接利用不等式性质得：y=x+■≥2■=4。

错因分析：忽视不等式取等条件“一正、二定、三等”，当且仅当x=2时，等号才成立。而本题x取不到2，应该改变策略，利用特殊函数的单调性来解决此题。

三、解析几何中定义解题

例3：平面内，到点A（3，-2）的距离与到直线L：2x+3y=0 的距离相等的点的轨迹是（  ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

错解：由圆锥曲线统一定义知答案为C。

剖析：圆锥曲线的统一定义隐含着定点不在定直线上，经验证：本题恰有A∈L，因此应选D。

四、平面几何性质问题

例4：已知凸多边形的内角依次成等差数列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多边形的边数。

错解：设边数为n，则（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：边数为9或16。

剖析：此题忽视了n边形的每个内角不超过180°这个隐含条件，当n=16时，第6项以后均>180°，故正n边形的边数应为9。

五、应用导数几何意义解题

例5：已知b>-1，c>0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）。

错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，从而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依题意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本题前面得到x=■是对的，由于条件不够，就认为f（x）=g（x），造成错解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键。忽视切点在曲线上的隐含条件致错。

六、发现隐含条件简化问题

例6：设f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内是增函数。试解关于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知单调区间，如何转化是关键。而这里面有个隐含条件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一个单调区间内，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函数奇偶性及隐含条件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

从上述例题中，我们知道忽视隐含条件可能问题解决得不够完整，如果发现了隐含条件有的时候可能会帮助我们更好、更快地解决问题。所以在学习数学的过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，进行独立思考，注重新旧知识的内在联系，把握概念的内涵和外延，做到一题多解、一题多变，不满足于现成的思路和结论，善于从多侧面、多方位思考问题，挖掘问题的实质，勇于发表自己的独特见解。因为只有思索才能生疑解疑，透彻明悟。

审题是解题的关键，数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的，拿到题目要“宁停三分，不抢一秒”，要在已有知识和解题经验基础上，逐字逐句仔细审题，细心推敲，切忌题意不清，仓促上阵。审数学题有时须对题意逐句“翻译”，隐含条件转化为明显条件;有时需联系题设与结论，前后呼应挖掘构建题设与目标的桥梁，寻找突破点，从而形成解题思路。从某种意义上说，解数学题是一个从题目所列项目中不断地挖掘并利用其中的隐含条件进行推理和运算的过程。一道题，如果由题目中明显给定的条件解决不了，而适用的隐含条件一时又难以找到，这就构成了所谓“难题”。问题的难度一般都与获得适合问题解决的隐含信息的艰难程度成正比。因此，一道数学题，尤其是结构灵活、抽象多变的“难题”，能否正确、迅速、合理地获解，关键在于能否准确地挖掘并使用题中的隐含条件。

题设条件是解数学题的基本依据。但题设条件并不常常都是显而易见的，有时是隐含的，容易令人疏忽。解题时忽视了题设的某些隐含条件，就会导致解题出错。举例分析如下。

一、解方程时需要注意题中所隐含的一些特殊条件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

错解：由因式乘积得x=0或1+logx2=0。

正解：由对数式可知x>0，故方程只有一解。

错因分析：忽视对数中真数大于0的条件。

解方程中还易出现一些忽视隐含条件的情况，如盲目移项、平方等。

二、利用不等式求函数值域

例2：已知函数y=■+x，（x≥3），求值域。

错解：直接利用不等式性质得：y=x+■≥2■=4。

错因分析：忽视不等式取等条件“一正、二定、三等”，当且仅当x=2时，等号才成立。而本题x取不到2，应该改变策略，利用特殊函数的单调性来解决此题。

三、解析几何中定义解题

例3：平面内，到点A（3，-2）的距离与到直线L：2x+3y=0 的距离相等的点的轨迹是（  ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

错解：由圆锥曲线统一定义知答案为C。

剖析：圆锥曲线的统一定义隐含着定点不在定直线上，经验证：本题恰有A∈L，因此应选D。

四、平面几何性质问题

例4：已知凸多边形的内角依次成等差数列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多边形的边数。

错解：设边数为n，则（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：边数为9或16。

剖析：此题忽视了n边形的每个内角不超过180°这个隐含条件，当n=16时，第6项以后均>180°，故正n边形的边数应为9。

五、应用导数几何意义解题

例5：已知b>-1，c>0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）。

错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，从而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依题意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本题前面得到x=■是对的，由于条件不够，就认为f（x）=g（x），造成错解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键。忽视切点在曲线上的隐含条件致错。

六、发现隐含条件简化问题

例6：设f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内是增函数。试解关于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知单调区间，如何转化是关键。而这里面有个隐含条件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一个单调区间内，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函数奇偶性及隐含条件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

从上述例题中，我们知道忽视隐含条件可能问题解决得不够完整，如果发现了隐含条件有的时候可能会帮助我们更好、更快地解决问题。所以在学习数学的过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，进行独立思考，注重新旧知识的内在联系，把握概念的内涵和外延，做到一题多解、一题多变，不满足于现成的思路和结论，善于从多侧面、多方位思考问题，挖掘问题的实质，勇于发表自己的独特见解。因为只有思索才能生疑解疑，透彻明悟。