以道求简，大道至简

李平香

摘  要：本文将恒成立、能成立的“混搭”问题追溯到最基础的“？坌”、“？埚”两个量词的解读.事物的发展往往是由简单到复杂，而复杂之后人们又在不断追求着简单，从复杂背景中把握简单的本质，从复杂问题中发现简单的方法，即在追简的过程中悟“道”，以道求简，达到大道至简的境界.

关键词：恒成立能成立;溯根追源;以道求简;大道至简

《利用搭桥法处理不等式中恒成立与能成立的“混搭”问题》（作者：徐加华，简称文【1】）一文发表在《数学通讯》2013年第12期（下半月），文中探讨了如何用“搭桥法”处理不等式中恒成立与能成立的“混搭”问题，并且为了行文方便，对文中的y=f（x），y=g（x）进行约定均存在最大值和最小值. 文首先介绍了不等式中恒成立与能成立的基本题型，即（1）a≥f（x）恒成立？圳a≥f（x）max;（2）a≤f（x）恒成立？圳a≤f（x）min;（3）a≥f（x）能成立？圳a≥f（x）min;（4）a≤f（x）能成立a≤f（x）max. 接着，文详细探讨了能成立与恒成立“混搭”的4种基本类型：（1）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（2）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（3）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（4）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立（以上A、B为非空数集，这里仅考虑f（x）>g（x），其他情况类似处理）. 然后用“搭桥法”分别将以上4种类型转化为基本题型来解决，如对于恒成立与能成立“混搭”问题的（1）“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立” “x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”，而“对x∈A，f（x）>M成立”“f（x）min>M”（恒成立），“对x∈B，M>g（x）”（恒成立）M>g（x）max. 这样，“x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”“f（x）min>M>g（x）max”. 于是“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立”？圳f（x）min>M>g（x）max.

虽然“搭桥法”即用“中介值”也是数学解题中常用的策略，但这样分析恒成立与能成立问题会不会太繁杂，会不会把学生弄得更晕呢？本人觉得解题宜自然、简捷.下面谈谈本人对此类问题的看法.

溯根追源——“恒成立”、“能成立”问题由来

追溯命题产生的过程，就是寻求命题生长的根，从逻辑关系看，也就是溯源命题的逻辑起点. 短语“所有的”、“任意一个”、“每一个”在陈述语句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“  ”表示，含有全称量词的命题叫全称命题;短语“存在一个”、“至少一个”、“有”在陈述语句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“？埚”表示，含有存在量词的命题叫特称命题.全称命题的形式：P：“x∈M，p（x）”x∈M，p（x）成立”“x∈M，p（x）恒成立”. 可见，“恒成立”其实就是为了与全称量词“  ”进行首尾呼应，由此，产生了“恒成立”问题（或称“任意性”问题）. 特称命题的形式：q：“x∈M，q（x）”？圳“x∈M，q（x）成立”“x∈M，q（x）能成立”. 可见，“能成立”其实也是为了与存在量词“ ”进行首尾呼应. 由此，产生了题型“能成立”问题. 同时，还需注意，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即命题P：x∈M，p（x），则p：x∈M，p（x）;命题q：x∈M，q（x），则q：x∈M，q（x），这就意味着“恒成立”与“能成立”需要时可以互相转化.

命题解读——“恒成立”、“能成立”问题分析

通过命题的溯根追源，对“恒成立”、“能成立”问题解读关键是回归到最基础的“？坌”、“？埚”两个量词的解读，即回归到两个词语“所有”还是“有”的正确理解，为了帮助学生准确理解“所有”、“有”，可以打比方. 如：“我们班所有人都比我小”，“我们班有人比我小”，要求同学们，只能选出一人来与我比，应选谁出来呢？这时，学生很容易找到前者应找“最大”，后者应找“最小”与“我”比较;又如“（1）班所有人都比（2）班所有人小”，“（1）班有人比（2）班所有人小”，要求每班也只能选一人出来比，应怎么选呢？显然，前者应选“（1）班最大的与（2）班最小的比”后者应选“（1）班最小与（2）班最小的比”. 现在，换成比函数值，如“？坌x∈A，f（x）≤a恒成立”，即“f（x）所有值≤a”，即f（x）max≤a;“？埚x∈A，f（x）<a能成立”，即“f（x）有值

反思感悟——以道求简，大道至简

事物的发展往往是由简单到复杂，所谓“一生二，二生三，三生万物”便是如此;而复杂之后人们又在不断追求着简单，所谓“大道至简”便是体现. 简单蕴涵了事物的简练性、朴素性，复杂蕴涵了事物的发展性、整合性. “恒成立”与“能成立”正是由简单的两个量词“？坌”、“？埚”衍生出来，对两个量词再进行组合就衍生出了更复杂的“多元恒成立、能成立”问题，问题复杂之后，如何化繁为简呢？笔者认为应该“以道求简”，数学中的“道”指的是数学中的核心概念、问题实质、本质属性、统一模式、贯通线索、不变规律、思想方法、通性通法等等. 数学的特性之一简洁性，数学的本质在于求简，数学中的“简”就是要用简明的视角、简要的设计，内容上删繁就简，形式上去繁就简，思路上化繁为简，解题上自然简捷，情境上简单明了，语言上精炼简要，表达上简明扼要. 数学教学中要渗透由简单到复杂的思想，让学生能够循序渐进地认识事物，理清知识之间的关系，从复杂背景中把握简单的本质，从复杂问题中发现简单的方法，即在追简的过程中悟“道”，以道求简，达到大道至简的境界.