基于小专题的高中数学教学设计

艾华升

摘  要：课堂教学研究的成果对课堂教学提出了新的要求，小专题探索教学是课堂教学的一种好形式.本文以向量的数量积为例，介绍小专题教学设计.

关键词：课堂教学理论;小专题教学设计;向量的数量积;小组讨论;合作探究

近年来，课堂教学研究取得了令人瞩目的成就，新的教学理念已深入人心.就本人所知，中学数学教育界至少达成了如下共识：

1. 课堂教学不仅是一个传授知识的过程，而且是一个促进人全面发展的过程，体现在教学的三维目标设计.

2. 课堂教学不仅是一个告诉学生科学结论的过程，而且是一个培养学生思维能力的过程，培养学生探索精神、探究能力和创新意识的过程.

3.？摇 要培养学生动手操作能力、实践能力.

4. 教学要鼓励学生相互交流、合作学习.

还有一条可能是大家都不说，但心知肚明的：要让学生考试得高分.

新的教学理念对教学模式提出了新的要求，然而，“最好的学习动机莫过于对于学科本身的内在兴趣和由于发现所产生的兴奋感和自信心”. 教学模式必须关注教学材料的组织. 下面以向量的数量积为例，谈高中数学的小专题设计.

阅读教材

教师备课，先要阅读教材. 人教版《高中数学必修四》关于“平面向量的数量积的物理背景及其含义（前一部分）”包含下面的内容.

1. 物体在力F的作用下，产生的位移s所做的功W=Fscosθ.

2. 非零向量a与b的数量积a·b=a·bcosθ.

3. 零向量与任一向量的数量积为0.

4. 向量a在向量b方向上的投影acosθ= .

5. 设向量a与向量b是非零向量，要求学生探究的三个结论：

（1）a⊥b？圳a·b=0;

（2）当a与b同向时，a·b=ab;当a与b反向时，a·b=-ab;特别地，a·a=a2.

（3）a·b≤ab.

6. 用定义求数量积的一个例子.

7. 相关的练习有三道：

（1）用定义求数量积的练习

（2）向量数量积与三角形的形状.

（3）画出一个向量在另一个向量方向上的投影并计算其值.

明确主题，解析教学目标

专题教学是相对综合性强的课堂而言的，反对传统课堂上教学内容的“杂”.这里强调专题要小，是因为这里只谈一节课的教学内容，关注的是课堂的教学设计.

本课的主题是什么？本课的主题是两个向量的数量积的定义：非零向量a与b的数量积a·b=abcosθ. 主题即专题，本节课我们按这个专题来设计. 教材中零向量的数量积作为特殊的规定，需要附带说明.

物体在力的作用下做功，是新概念的背景，按数学教学的说法，是引入概念的“情境”. 教材中，向量a在向量b方向上的投影的背景是力在物体运动方向上的分力，练习中又有要求，因此，在数量积的概念教学中要恰当地嵌入这个“契子”.

向量的数量积运算，三角形、正方形、长方体都是好的载体. 这里有一个要求学生正确判断两个向量的夹角的问题. 三个结论是让学生探究的，其中有的结论在后面的学习中充当“公式”，教学中应引起重视.

熟练地进行数量积的运算，是教学过程中自始至终的教学目标.

教学过程设计

（一）引入问题

已知两个向量a，b，如图1.

我们学会了求它们的和与差a+b，a-b（图2）.

数学家们需要进一步关心的是a·b=？

（学生发表一下意见，可能不得要领）

（二）问题解决

1. 物理学家所做的工作

提问：小车在大小为300牛的力F作用下，产生大小为2m的位移s，若F、s的夹角是60°.

（1）求力F在s方向上的分力;

（2）求力F所做的功.

图3

（答案：（1）Fcosθ=300× =150牛，（2）W=FScosθ=300×2× =300J）

说明：指出分力，原因是为后面“b在a的方向上的投影”做铺垫.

2. 数学家的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=abcosθ. 其中θ是a与b的夹角.

用几何画板作下图（图4），并用度量工具、计算工具求出两向量的数量积.

图4

设计意图：上面的操作让学生理解到，求两个向量的数量积，先要求两个向量的长度与夹角.

3. 关于数量积的两个问题

（1）上面的定义没有给出两个向量中，一个是零向量或者两个都是零向量，它们的数量积的意义，怎么规定好呢？

预设：学生可能这么讨论，这两个向量的夹角是不确定的，但两个向量的模至少有一个为零，于是abcosθ=0.

规定：若a，b至少有一个是零向量，则a·b=0.

（2）在图1中，你能作出力F在s方向上的分力并指出分力的大小吗？

预设：学生会作出图5，指出F在s方向上的分力是 ，它的大小 =F·cosθ.

图5

在定义式a·b=abcosθ中的bcosθ是一个实数，它叫向量b在向量a的方向上的投影. 那么也可以说，数量积a·b就是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.

设计意图：数量积概念的形成过程，是物理知识向数学知识的迁移过程.这里关于投影的教学有利于学生形成类比推理的能力.

（三）深化学习

理解新概念、掌握新概念，最好的方法莫过于做练习. 接着让学生做下面的练习是合适的.

题组一：设a=3，b=4

1.？摇当向量a，b的夹角为60°时，a·b=？

2.？摇当向量a，b夹角为120°时，a·b=？

3.？摇当向量a，b同向时，a·b=？

4.？摇当向量a，b异向时，a·b=？

5.？摇当向量a，b互相垂直时，a·b=？

6.？摇a·a=？

7.？摇已知a·b=-6 ，a，b的夹角是多少度？

小组讨论一：

通过上面的练习，你从中发现了哪些规律？

预设：通过小组讨论，学生发现了下面的结论.

（1）在a≠0，b≠0的前提下，当a，b的夹角为锐角时，a·b>0;当a，b夹角为钝角时，a·b<0. 当a⊥b时，a·b=0.

（2）当a，b同向时，a·b=ab;当a，b异向时，a·b=-ab;a·b≤ab;a·a=a2.

（3）数量积的定义式常变形为cosθ= ，用来求两向量的夹角.

设计意图：得到了向量数量积的概念，顺其自然的工作当然是求向量的数量积. 上面的练习入手相当容易，学生有“刚学过就会了”的成就感. 习题简单，但学生通过练习所得到的发现却是相当不简单的. 上面的练习，有利于培养学生的动手操作能力、实践探索能力;上面的讨论，有利于培养学生的抽象概括能力，有利于学生形成合作、交流的学习习惯. 专题教学，不是简单地把科学结论告诉学生，而是让学生通过积极主动的探究得出结果. 因而这里的小专题教学也可以说是小专题探究教学.

有的教学设计，给出概念后不是让学生做简单练习，而是给出下面这样虚幻的问题：

“在研究夹角对数量积结果的影响过程中，有哪个特殊情况最吸引你？”

下面这样简单的习题，不是让学生做，而是作为例题来讲解.

“例 （1）已知a=3，b=2，〈a，b〉=20°，求a·b;

（2）已知a=3，b=2，〈a，b〉= ，求a·b;

（3）已知a=3，b在a方向上的正射影的数量是-2，求a·b.”

显然，上面的做法错失了培养学生动手操作能力的良好机会. 所提的问题，以及“正射影”概念的引入又无端地增大了教学的难度.

题组二

1. 在直角三角形ABC中（图6），C=90°，A=60°，AC=3，AB=6.

求：（1） · ;（2） · .

图6

2. 如图7，正三角形ABC的边长为6.

求：（1） · ;

（2） · ;

（3） · .

图7

？摇3. 正方形ABCD的边长为1（图8），AC是它的一条对角线.  =a， =b，用a，b表示：

（1）（ · ）· ;

（2） ·（ · ）.

图8

小组讨论二：

1. 已知a·b=0，是否一定有a=0或b=0？

2. 若a·b=a·c，是否一定有b=c？

预设：学生自主做题时，由于不能正确判定两个向量的夹角出现一些错误，但通过互相交流能改正错误. 能从第1题、第3题的解答中，对讨论的两个问题做出正确的判断.

设计意图：让学生暴露错误，通过互相学习纠正错误，是掌握新知的好方法. 在具体例子中寻找反例，是数学研究的一种重要方法，这里的设计有利于学生掌握这种方法.

“数”从“形”来，这里又回到“形”去. 从上述三道练习，学生领会到，用定义法求两向量的数量积关键在于判断两个向量的夹角. 本练习能巩固夹角概念，培养学生观察能力和探究能力.

题组一求向量的数量积，题组二还是求向量的数量积. 有的教学设计给出向量的数量积的概念后，不是让学生去求向量的数量积，而是直接提出下面的问题让学生去探究.

教师：数量积与两个实数的积有什么异同点？数量积的结果为数，与向量的加、减、数乘有何不同？

学生：①在实数中，若a≠0，且a·b=0，则b=0;但在数量积中，若a≠0且a·b=0，不能推出b=0;②实数a，b，c（b≠0），由a·b=b·c可推出a=c;但a·b=b·c不能推出a=c;③在实数中，（a·b）·c=a·（b·c），但是（a·b）·c≠a·（b·c）”.

这样的探究是否真实？很可能只是学生照着课本上的结论说而已. 如果在非重点学校，学生什么都探究不出，最后只能是老师灌输式地讲.

（四）课后作业（略）

本课自然流畅，无半点做作. 学生在围绕数量积的定义练习的过程中，理解新概念、掌握新概念;在学生的交流与反思中，探索规律，发现规律. 通过学习，学生变得更爱数学，更爱探究与创新.