从《空间几何体的结构》课例看概念课的教学模式

洪琼

摘  要：本文的主要目的是形成概念课教学的基本模式，通过具体课例《空间几何体的结构》第一课时教学过程的翔实记录和课例点评，展现概念课教学的四个基本环节：创设情境、提出问题;观察、分析、归纳，形成概念;辨析延伸、巩固内化、类比迁移;总结方法与策略. 强调自然合理地形成、精确到位地辨析概念和提炼数学思维、学习方法的重要性.

关键词：概念课;教学模式;探究;归纳;辨析

2014年4月台州市李昌官名师工作室开展了以“高中数学探究性、研究性教学”为主题的活动. 会议邀请了人民教育出版社中学数学室原主任、人教高中数学A版教材执行主编章建跃博士作关于概念课教学模式的选择的报告，并结合课例展开研讨. 本人作为工作室成员，结合以前本人开设的一堂广受好评的公开课《空间几何体的结构》第一课时，对概念课教学模式进行解构，供大家阅读、评价、研讨.

教学过程

1. 提供产生问题的情境与素材，激发学生探究的兴趣和欲望

课前五分钟播放一些世界经典建筑的图片和音乐，配合幻灯片“音乐的美用耳朵来感受，几何的美用眼睛来察觉”，“数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”.

教师：同学们， 刚才我们欣赏了一些非常著名的经典建筑. 比如我们国家的游泳馆水立方、体育馆鸟巢、上海的东方明珠等等，这些美妙的经典建筑给你们什么感受？

学生：美的享受.

教师：那么这些建筑美在哪里呢？

学生1：颜色、结构、形状有规则.

教师：（展示幻灯片）这是一些平常建筑的素描设计稿，中国美院的院长这样解释素描：“素描就是研究空间中的立体构造.” 所以我们要学会欣赏美，探索美，创造美，就要从研究几何学开始. 几何学是研究现实世界物体的形状、大小与位置关系的数学学科. 我们在初中时已经接触过，请回忆一下.

学生2：有圆、平行四边形、三角形等等，这些都是平面图形.

教师：对，这就是平面几何. 我们刚才所欣赏的建筑物是平面图形吗？我们研究的范围局限在平面范围内够不够？

学生2：不是平面图形，是空间图形，要在空间内研究.

2. 搭建问题框架，精确设计问题，使问题系列化、结构化、具体化，要在学生的最近发展区内展开. 自然合理地提出问题，明确对问题探究的思路、方法与策略.

（1）导出空间几何体的概念

教师：以刚才的水立方为例， 如果我们只考虑它的形状和大小， 不考虑它的颜色、组成的材料等其他因素， 那么我们抽象出来的空间图形是什么？

学生（众）：一个长方体.

教师：我们把只考虑物体的形状和大小， 不考虑其他的因素抽象出来的空间图形叫做空间几何体.空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中有着广泛的应用. 本章我们从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、学会以三视图和直观图来描述这些结构特征的方法，了解一些简单几何体的表面积和体积的计算方法.

（2）运用归纳与类比探究多面体和旋转体的概念

多媒体显示实物图片.

教师：观察下面的图片， 这些图片中的物体具有怎样的形状？我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述？

学生3：分别是圆柱、圆锥、球、圆台. （迟疑片刻）还有棱柱、棱锥、棱台.

教师：观察并分析它的结构特征.？摇

（多媒体给出结构特征的现代汉语词典解释：各个组成部分的搭配和排列）

我们知道平面图形的组成是点和线，那么空间几何体的组成部分呢？

学生3：点、线、面.

教师：那么就从点、线、面入手，去分析一下结构特征.

学生3：组成图1、2、3的主要是线段，图4、5、6、7中有曲线.

学生4：图1、2、3中，组成几何体的面全都是平面图形，其余几何体的面不全都是由平面组成的，而且都跟圆面有关.

教师：按这样分析，该怎么分类呢？

学生5：1、2、3一类，4、5、6、7一类.

教师：好的， 请归纳图形1、2、3的共同特征，并给个名称.

学生5：组成多面体的面都是平面多边形，就叫多面体.

教师：请接着来归纳图形4、5、6、7的共同特征.

学生5：都有曲面.

学生6：都与圆有关，如果取截面的话，能得到圆.

教师：请回忆一下用圆规画圆的过程，一个点固定，另一个点在平面内绕着定点旋转一周. 这些空间几何体是否可以看成平面图形旋转而成呢？以圆柱为例.

学生6：圆柱可以看成长方形绕一条边旋转而成.

教师：那么圆锥、圆台和球呢？

学生6：圆锥可以看成直角三角形绕一条直角边旋转而成，圆台可以看成直角梯形绕直角边旋转而成，球可以看成圆绕直径旋转而成.

教师：很好. 那么同学们能根据它们的共同特征给出一个名称吗？并尝试给出定义.

学生7：旋转体. ？摇我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.

教师：到目前为止，我们归纳出了两类几何体：多面体和旋转体. 它们是空间几何体的两大基本类型. 我们接着来研究多面体.

（3）充分观察、分析、归纳，探究棱柱的结构

多媒体放映多个棱柱、棱锥、棱台.

教师：观察下列多面体， 并根据它们的形状进行合理分类，并说明理由.

学生8：图8、9、10、11一类，图12、13一类，图14、15一类，一类是上下均匀的，一类是上下不均匀的，一端大一端小，还有一类有一端是一个点.

学生9：分类方式一样，一类是上下底面相同，另一类上下底面不相同，还有一类是只有一个底面的.

教师：你们能根据不同的类别的结构特征命名吗？

学生8：柱形、锥形、台形.

教师：我们习惯称平行四边形、正方形，“形”字通常用来形容平面图形.

学生9纠正：柱体、锥体、台体.

教师：圆柱、圆锥、圆台也分别是柱体、锥体、台体，怎么区分呢？

学生9：棱柱、棱锥、棱台.

教师：很好，“棱”字体现了多面体结构的一个特征. 我们来研究一下棱柱. （多媒体显示多个棱柱）

你能用文字语言给棱柱下个定义吗？请大家从棱柱结构中面的特点以及面与面的关系、棱与棱的关系找到它们的共同结构特征. （学生归纳，教师板书）

学生9：①有两个面平行， 并且这两个面全等. ②其他的面都是矩形. ③其他各面的交线平行且相等.

学生10：第二条应该改为其他的面都是平行四边形. 再补充④其他各面与上下两个面的交线平行也相等.

教师：非常好，现在这些结论都正确？

学生：正确.

教师：数学定义不仅要求科学正确，更要求简洁. 我们看，这几条当中哪些能体现棱柱的本质特征，哪些可以删去呢？

学生11：第四条可以删去，因为第二条就已经保证了.

教师：很好. 我们现在对照课本思考一下，课本定义与我们的有什么区别.

为什么课本删去“上、下两个面全等”？

学生12：我觉得上、下两个面平行了，再加上条件2、3就已经能保证上下两个面全等了，不必写出. （部分学生恍然大悟，部分学生迷惑）

教师：没错，这两位同学想法是正确的，但是要等我们学到下一章才能证明.

所以棱柱的定义可以概括为：

学生（众）：①有两个面互相平行，②其余各面都是平行四边形，③每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（教师在黑板上画出棱柱，并写出棱柱的表示方法）

3. 对学生探究的结论及时辨析延伸，巩固内化，类比迁移

（1）概念辨析巩固

多媒体继续演示

教师：观察下列多面体，判断它们是不是棱柱，若不是，请说明理由.

学生13：图16、17、18是，图19不是，因为不满足棱柱特征的第一条有两个面平行，图20不是：虽然它满足有两个面平行，但是不满足第二条.

教师：很好，那么有两个面平行，其余面都是平行四边形的空间几何体一定是棱柱吗？

学生13：应该是.

教师：如果是的话，棱柱的定义就可以修改了，这样更简洁啊，我们看个例子.

多媒体演示

图21

（学生恍然大悟）

教师：所以说，棱柱的三个本质特征缺一不可.

（2）概念延伸

教师：观察这三个棱柱有什么区别呢？

学生14：侧面与底面的位置关系不一样，有的垂直，有的不垂直.

学生15：底面多边形的边数不一样，有三角形、四边形、五边形.

教师：两位同学说得都对，按第一位同学的分法，以侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱.

按第二位同学的分法，以底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱.

（3）概念内化

我们共同讨论得到了棱柱的定义、相关的概念、表示的方法、分类. 下面我们来做几道题：

①如图22，过BC的截面截去长方体的一角， 截去的几何体是不是棱柱， 余下的几何体是不是棱柱？

图22

学生16：截去的部分是三棱柱， 余下的部分是底面是直角梯形的一个四棱柱.

②观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？

学生17：三对平行平面;这三对都可以作为棱柱的底面.

③观察图23中的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？

学生18：有四对平行平面，但只有上下两个平行平面可作为棱柱的底面，其他三对平行平面都不能作为棱柱的底面，如图24.

④棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？

学生19：不是的.

教师多媒体演示图的另一种放置方式.

（4）类比学习棱锥的定义

教师：现在我们对棱柱概念已经有了比较深刻的理解，根据我们刚才学习棱柱的过程和经验，我们现在来研究棱锥. 现在请大家观察棱锥，从面的角度描述一下它的几何结构特征.

学生20：它的周围是有公共顶点的三角形，跟顶点相对的是一个平面多边形.

教师：描述得很好，但是“旁边”这个说法不太准确，我们换个说法：有一个面是平面多边形，其余面都是有一个公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥.

教师：现在同学们可以给构成棱锥的面和线段进行命名.

学生21：把平面多边形叫做底面， 其余三角形叫做侧面;三角形的公共点叫做顶点，各侧面的公共边叫做侧棱.

教师在黑板上画出棱锥，写出棱锥的表示方式.

图25

教师：像学习棱柱一样，大家也给棱锥进行分类.

学生22：按底面多边形的边数来分，可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….

教师：观察这个三棱锥，哪个面可以作为棱锥的底面？哪个点可以作为棱锥的顶点？

学生22：每个面都可以作为底面，与底面相对的点可作为顶点.

教师：这就是三棱锥具备的特殊性，四个面都可以作为底面，我们也把三棱锥称作四面体.

4. 梳理知识结构与联系，总结研究问题的方法与策略

教师：请一位同学回顾整理这堂课的内容.

学生23：我们学习了空间几何体中的多面体、旋转体，再从多面体转移到别的多面体，棱柱、棱锥. 重点学习了棱柱、棱锥的定义、表示方法.

教师：很好，既然我们重点学习了定义，你能否描述一下我们学习定义的过程.

学生23：先给出很多具体事例，通过观察比较，找出共同特征，再归纳描述成具体的语句.

教师：我们一开始就归纳准确了吗？

学生：没有，需要不断修正，然后再通过具体的例子进行辨析，说明归纳出的定义是正确的.

教师：这位同学概括得非常到位. 通过这堂课我们可以感受到数学概念学习、研究的几个步骤：①观察、分析大量实例;②抽象、概括共同特征;③归纳总结数学概念;④正、反两面进行辨析. 我们可以感受到数学概念的产生是自然合理的！数学定义是准确、科学和简洁的！

作业布置：分析棱台的结构特征，自主形成概念，并与课本相对照进行修正;制作棱柱、棱锥、棱台的模型;了解空间几何学发展史与现有分支情况.

课例评价

本课例评价内容来源于执教者自我反思以及工作室成员的客观点评.

本课例是必修2立体几何的起始课，包括“章引言”和“1.1空间几何体的结构”两部分，章引言渗透在具体内容中，不做单独讲解. 空间几何体的结构第一课时，属于概念课的教学，主要让学生去形成空间几何体的定义、分类，感受棱柱、棱锥的结构特征和定义形成过程.

1. 本课优点

（1）对概念形成过程浓墨色彩

概念教学的核心是概括，即将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念. 本课例设计框架符合知识演变的逻辑和学生的认知规律，从空间几何体的概念、分类到棱柱、棱锥概念的产生，从模糊到精细，从拓扑到度量. 其次，本课特别追求概念形成要符合学生的思维展开过程和心理感受过程，在问题设置上别具匠心，每一个问题的设置都是让学生跳一跳就能够得到，符合学生的最近发展区，方便学生的主动建构. 课例充分体现了教的主导地位和学的主体地位. 本课探究策略设计合理、思路清楚、操作可行、探究活动真实，使学生获得丰富的情感体验;概念形成自然合理，概念辨析和拓展精确到位.

（2）注重学生学习方法的总结提炼

本课在内容安排上到棱锥定义为止，重心放在棱柱定义的构建上. 通过经历对大量的具体实例进行概括归纳得到棱柱定义的过程后， 让学生体会用联系的观点、类比的方法研究棱锥的定义，学生通过类比活动而获得研究对象的内容与方法的成形，进一步清晰展现学习数学概念尤其是几何体概念的基本思路.

作为《空间几何体》的起始课，重要的不是介绍棱柱、棱锥等几个相关概念，而是让学生经历对学习对象观察、归纳、分析、概括、辨析的思维过程和认识数学新对象的归纳类比的基本方法，这是一个带有“本源”性质的过程，即要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”. 本课在最后小结环节中，除了知识总结外，让学生主动根据学习过程描述概念获取的思路过程，并归纳为四个步骤，对学生思维灵活迁移程度、广度和深度及创造力等都有很大的帮助.

2. 不足之处

本课例对概念课教学的流程和模式展示上有示范意义，但由于不能算高中数学中的核心概念课，本课十分强调概念产生的自然和学生的概括归纳，但是没有很好体现高中数学教学的深入和浅出. 因为执教者追求起始课结构的完整性和多个概念的流畅程度，导致内容结构、层次较复杂.