滚动中的“秘密”

支春竹

问题提出：

甲、乙两枚大小相同的硬币，现将硬币甲固定在桌上，让硬币乙沿着硬币甲的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置，那么滚动的硬币乙自转了多少圈？

解题思路：

我们同学拿到这样的动态几何题，常常不是用大脑的无限空间来思考，而是很自然地想去拿硬币试试. 任何原理都是在实验的基础上猜想再证明得出的，这种想法是很好的，但是，大部分实验都只是用来感受的，用来估测的，所有实验都避免不了误差，所以，实验只能给你提供一个目标，并不能给你一个明晰的解答过程.

既然是运动的，首先是要明白物体的运动轨迹，要学会抽象且全面地在图形上表现出来. 如下图所示，让硬币乙沿着硬币甲的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置，就抽象成两个相切的圆.我们要想知道转的圈数，就要知道硬币乙的运动路程.圆的运动路程比较容易求出，便是圆心的运动路程. 在图中作出圆心的运动轨迹.假设两个圆的半径都为r，由此，我们可以清晰地发现圆乙（即硬币乙）的运动路程就是以圆甲（即硬币甲）的圆心为圆心，以2r为半径的圆的周长，即4πr，它自身的周长是2πr. 所以一共滚了2圈.

这种方法很容易想到，圆的运动路程就是圆心的运动路程是解决本题的关键所在. 当然，如果觉得图形不易理解，我们还可以趣味想象.

我们先把这两个圆看成两个质点（即两个圆的圆心），但它们有各自的屏障，任何物体必须和它们保持r的距离，那么这两个点距离最近为2r. 现在，其中一个点想360°地观察另一个点，则它要行走4πr的路程，回归原题，可知一共滚了2圈.

反思总结：

这个问题的解决可以分两步走：第一步把这个问题看作是一个平移，硬币乙平移的路程是硬币甲的一个周长；第二步看作硬币乙的旋转，硬币自转一周的路程是硬币乙的周长. 再用硬币乙平移的路程除以硬币乙的周长就是硬币乙自转的圈数.

实验让我们明确探究的方向，对问题有感性的认识，理性的思考更会让我们透视问题的本质，正如华罗庚所说，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，您说是吗？endprint