第一次数学危机

贾芸芸

第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号2的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志.这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始.

1. 历史背景

毕达哥拉斯（约公元前572年—公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有一句名言“凡物皆数”，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物.不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认识的只是有理数.

当时的人只有有理数的概念是绝不奇怪的. 整数是在对于对象的有限数量进行计算的过程中产生的抽象概念.日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间.为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数.于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的.

有理数有一种简单的几何解释.在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边.以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示.于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点.

2. 危机爆发（无理数的发现）

伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前1100年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数.亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数轴. 他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎.在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的第一次数学危机.

3. 危机解决

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯（Eudoxus，约公元前408年—前355年）解决了关于无理数的问题. 他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，巧妙地处理了可公度和不可公度. 他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致. 21世纪的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处.

4. 第一次数学危机影响

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示. 反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.

回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法.即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的.例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的.至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主、以用为主的道路.而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献.据史籍记载，古代的希腊和中国，很早就发现了无理数.然而东西方却通过不同的途径来认识和发展无理数的理论：希腊人着眼于几何量的长度关系，从线段不可公度的几何角度入手，用逻辑方法进行探讨；中国人着重满足实际应用的数的运算，从开方不尽的计算过程入手，通过计算方式来认识并建立其法则.

但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）endprint