两枚硬币的“舞蹈”

刘兆丰

通过对“滚动中的硬币自转圈数探究”的学习，我明白了数学的学习不只是复杂的计算、严密的推理，更充满着实践给予我们的思想愉悦. 在对数学奥秘的探求过程中，我被数学的魅力折服，深深陶醉其中，好多次在梦里与这两只“跳舞”的硬币相遇. 每次我从梦中醒来，都引起无限的遐想：这两枚硬币旋转中变化的本质是什么？它缠绕着我，让我寝食不安.

我再次不停地转动这两枚硬币，观察静者的稳重，动者的灵动. 突然一个想法从我的脑海里迸了出来. 旋转中的硬币自转一周不就是其中的一条半径绕圆心旋转360°吗？无论怎样自转这一规律都不会改变. 老师不是常说，在运动中寻找不变的因素，这常常是解决问题的突破口. 这个发现能用来解决我们的问题吗？

我急切地行动起来：在一枚硬币上画上一条半径，再次仔细地做起“滚动中的硬币自转圈数探究”的实验，着重观察这条半径的变化情况. 果然，当乙硬币转到甲硬币周长的四分之一时，乙上画的这条半径绕自己的圆心转动了180°，当转到甲的周长一半时，乙的这条半径转动了360°，继续旋转，回到原来的位置时，乙的这条半径刚好旋转了720°.即乙硬币自转了两圈. 我兴奋地跳起来，好像哥伦布发现了新大陆.

我怀着欣喜的心情把这个发现告诉了老师，老师表扬了我. 同学们为我的发现鼓掌. 我心中真如吃了蜜一样甜！

这时老师又向我和同学们提出一个问题：“能用‘旋转中的硬币自转一周就是其中的一条半径绕圆心旋转360°这个结论解决两个半径不等的硬币的旋转问题吗？相信你们仔细研究会发现数学更为神奇的奥秘. ”

带着这个问题我又沉浸到研究和探讨之中. 经过思考我认为有如下的方法可以解决，请同学们听我的看法.

如图1，一枚5角的硬币（直径为2 cm）绕一枚1元的硬币（直径为2.5 cm）的边缘无滑动滚动一周回到原来的位置时，那么5角的硬币自转了多少圈？

【分析】如图1，设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长，接触点由点A到点B，则优弧长为2π，设优角∠AOB的度数为n°，则有=2π·1，∴n=288°. ∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2π后到达的位置，即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转288°到达的位置，∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360°+288°. ∵圆O的周长为2.5π，圆O1的周长为2π，∴圆O1回到原来的出发点滚动了1.25个周长，∴O1A在平面内绕O1点共旋转了1.25×（360°+288°），∴圆O1自转了=2.25（圈）.

现在我们把上述情况推广到一般情况：

若圆O1的半径为r，圆O的半径为R且满足R=kr，圆O1沿圆O外壁无滑动地滚动一圈回到原出发点，则圆O1自转了多少圈呢？

【分析】如图2，设圆O1沿圆O外壁无滑动滚动一个周长，接触点由点A到点B，则∠AOB的度数n满足：=2πr，∴n==，∵O2B是O1A绕O旋转一个弧长2πr到达的位置，即为O1A绕O1自转一个周角后继续旋转到达的位置，又图中∠CO2B=∠AOB=n，∴O1A到达O2B时在平面内绕O1旋转了360°+=. ∵圆O1回到原来的出发点滚动了=k（个）周长，∴O1A在平面内绕O1点共旋转了k×=（k+1）×360°，∴圆O1自转了=（k+1）（圈）.

以上是我的一些见解，如有不足之处，欢迎大家批评指导与补足，让我们一同在数学学习的海洋中畅游！endprint