鼓励学生猜想，提高课堂效率

沈建华

摘 要：数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的倡导者G·波利亚曾说过：“在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。”数学猜想能缩短解决问题的时间；能获得数学发现的机会；能锻炼数学思维。

关键词：数学猜想；类比联想；充分想象；头脑风暴

历史上许多重要的数学发现都是经过合理猜想这一非逻辑手段而得到的，例如，著名的“哥德巴赫猜想”“四色猜想”等。因此，在数学教学中，运用猜想可以营造学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的过程。

一、利用类比联想培养学生进行有效猜想的能力

所谓类比联想，就是在联想的基础上对两个或两个以上的事物进行比较，找出它们之间的共同点，进而受到新的启示，产生新的思路，从而产生新的解决问题的方法。

数学教学要重视问题情境的创设，以引起学生的好奇心和求知欲，激发学生的学习兴趣和探究的欲望，使学生发现问题、提出问题并寻求解决问题的方法。类比转化法就是把要解决的问题转化为另一个与之有关的，且是较熟悉的、易理解的问题去解答的方法。这种方法往往用于解答一些较抽象的概念或定理，由于难以表达，需转换一个角度去思考，这样问题就容易解决。例如，在“有理数加法”的教学中，如何理解8+（-5）等于多少呢？若举些实际例子来解决这个问题，那么学生就能够很快得出答案。我是这样说的：“把8看作我原有8元钱，把-5看作我用了5元，则手里还剩下几元钱？”学生很快就能答出是3。然后让学生按照相似的方法举出各种加法的情况再加以猜想，学生很快就得出了加法的法则。通过这些生活中的例子，学生对有理数加法法则有了感性的认识。因此，教师在创设问题情境时要在符合客观事实的基础上，凸显出一些问题解决方式或答案的信息，使创设的情境对学生的猜想和假设具有一定的启发和暗示性。这样学生在猜想与假设时，就有了一个较为明确的方向，不至于做出一些不着边际的猜想与假设，同时培养了学生收集信息的能力。

数学教学在解题过程中为了寻找问题的解决线索，通常借助类比联想，从而达到启发思路的目的。因此，类比联想在求解问题中有着广泛的应用。在解题教学中采用类比教学，可以梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性，从而培养了学生进行有效猜想的能力。

例：已知m2+3m-2=0，n2+3n-2=0（s≠t），求mn+4s+4t的值。

思路分析：观察已知条件和所求代数式的外形，可联想到一元二次方程的根与系数的关系。类比题设构造一个以m和n为根的一元二次方程x2+3x-2=0，然后根据一元二次方程的根与系数的关系知m+n=-3，mn=-2，从而很容易求出所求代数式的值：mn+4s+4t=mn+4（s+t）=-2+4×（-3）=-14。

二、让学生在参与合作学习中激活猜想

“心理自由”或“心理安全”是有利于创造性活动的基本构件，一个学生如果感到课堂心理气氛是自由和安全的，他就会心情舒畅，而不必花时间来保护自己，也不怕别人来责难，始终能按自己选定的目标不断进取，敢于发表意见、敢于猜想。假如教师给学生的是一种“无法亲近、高高在上”的感觉，那么，即使学生在学习过程中有一些猜想与假设，也不敢告诉教师，当然无法让学生进行有效的猜想与假设了。因此，在数学教学中，教师要用发展的眼光看待学生提出的猜想，发现学生的闪光点，多激励表扬学生，对学生提出的各种猜想哪怕是较为不合理的猜想也要认真对待，同时积极引导学生沿着合理科学的思维方向进行有效的猜想与假设。例如，在“可能性的大小”教学中，我让每个学习小组模拟现实情境做转盘游戏：课前将转盘分成大小不等的几个扇形，并分别涂上红、黄、绿、黑四种不同的颜色，它们分别表示一等奖、二等奖、三等奖、谢谢参与，再在课堂上让各个小组都动手做转盘的游戏，并对中奖结果作了记录。游戏后，我问学生：“你在转出结果之前，头脑里会想些什么？”学生必然会说：“猜我会得什么奖？”“可能得什么奖？”我紧接着问：“有四种可能：一等奖、二等奖、三等奖、谢谢参与。”“每个奖次出现的可能性相同吗？”“不相同，圆心角越大，可能性越大。”……学生通过玩游戏，加深了对可能性的理解，充分感受到事件发生的可能性大小是不一样的：事件发生的可能性大小是由事件发生的条件决定的，而不是运气的问题。再例如，在求n多边形内角和时，我提供了一种证法，从n边形的一个顶点出发，引出（n-3）条对角线，他们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°，学生在此基础上，大胆地提出了自己的猜想——把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法能得到多边形的内角和公式吗？于是我把学生分成几个小组进行讨论、探究，学生很快得到了两种方法，方法1：在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°。即n边形的内角和等于（n-2）×180°。方法2：在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其他各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°，以O为公共顶点的（n-1）个角的和是180°，所以，n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。他们通过努力，亲自验证了他们的猜想，学生更加有信心和参与课堂的积极性，突然又有两三个学生大胆地进行了猜想，既然点O能在多边形内部和边上，那么点O能不能在多边形的外部呢？这个猜想轰动了全班学生的思维，大家不约而同地小组讨论起来，果不其然，一段时间后，有的小组得出了结论：可以得到多边形内角和公式，于是得到了方法3：在多边形外取一点O（点O不在n边形任一边的延长线上），连接此点与各顶点，得到（n-1）个三角形，所以此n边形的内角和等于（n-1）个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，即（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°，归纳之后得到n边形的内角和为（n-2）×180°。虽然列出的式子和方法2的一样，但是研究的方法是不一样的，学生敢于猜想，并积极参与合作探究，验证了猜想，这样的处理符合学生的心理特征，也最大限度地调动了学生学习的积极性。整个学习过程，学生思维活跃，具有开放性。在师生的共同合作中，学生进行了非常有效的猜想，课堂教学取得了良好的效率。

三、提供充足的时间，让学生充分想象

初中数学中的许多概念、性质、判定等知识，对于正处于由感性认识到理性认识转化的初中生而言是比较抽象的。让他们通过观察具体图形或实物模型和动手实验，根据自己的观察实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，猜想时，每个学生凭借自己的想象进行估计、推测，对问题的看法不同，教学时要让学生的思维充分发散，以提出不同猜想。如，在教学“认识三角形”时，提出：“是不是任意三条线段都能组成三角形呢？”一开始几乎所有的学生都回答：“是。”这时，我拿出事先准备好的一些长短不一的木棒，让学生自己动手演示，学生通过亲自动手实践否定了他们的答案。我抓住学生的结论引导学生猜测：“能不能组成三角形是否与三条木棒的长度有关系？”请学生接着分组测量课本中提供的三类三角形的三边之长，最后由学生自己得出三角形的三边关系。这一问题情境创设突破了教学的难点，学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。反馈信息表明，学生对自己操作得到的数学结论理解得深，掌握得牢。教学时要善于引导学生密切联系所学过的知识展开想象，使学生产生好奇心理。比如，在讲授“等腰三角形的两个底角相等”时，教师可先让学生拿出已准备好的等腰三角形纸片，引导学生进行观察并对两个底角的关系进行猜想。学生通过自己的感官反应马上得到“等腰三角形的两个底角相等”，在教师的肯定与赞扬声中，学生跃跃欲试，又通过动手操作：有的拿出了量角器来进行测量，有的通过对折来看这两个角能否重合……很快他们就找到了验证自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了这一性质。又如，新授“三角形中位线”定理时，学生在了解了“连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线”之后，通过“画一画”“量一量”“看一看”的操作来猜想三角形中位线的性质，通过学生自己的观察与测量得到了“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，这就引发了想象：是不是任何一个三角形的中位都平行于第三边且等于第三边呢？随后，学生饶有兴趣地进一步推理论证该定理。在讲授新知识的同时，让学生体验知识本身的魅力与内心的喜怒哀乐，同时又培养他们的想象力。

每个学生的能力、水平、思维的敏捷性不同，提出猜想所需的时间也不相同；学生在猜想时还要不断地进行交流讨论甚至辩论，这也需要以一定的时间为基础。因此，在探究教学中要提供给学生充分的时间，充分发挥其想象力，提出各种可能的猜想。如果没有一定的时间保证，猜想只能匆匆进行，既不能使所有学生进行猜想也不能使猜想达到应有的深度。

四、利用头脑风暴法，展示学生的猜想

头脑风暴法是教学中让学生根据自己对问题的看法，提出尽量多的猜测，教师和其他学生不要打断和进行评价，直到把所有的可能都提出来的一种猜想方法。头脑风暴法可充分发挥学生的聪明才智，调动学生的能动性、积极性，让学生畅所欲言，把所有的猜想都提出来。例如，（1）在教学“有理数的乘方”时可这样导入：让学生把厚0.1毫米的纸依次折叠并计算纸的厚度。引导学生观察、发现纸张的厚度变化是在成倍地增加。同时提出继续折20次、30次会有多厚？如果一层楼高3米计算，折叠20次有30层楼高吗？珠穆朗玛峰有8844米，折叠30次有12个珠穆朗玛峰高吗？这一惊人的疑问让学生精神集中，思维活跃，进入最佳状态。（2）假如有一条很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再稍稍加长15米，在赤道的任何地方，你都可以站着从绳子下方自由穿过吗？（3）相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他需要什么，发明者说，我想在棋盘的第一个格子里放一颗麦粒，第二个格子里放两颗麦粒，以后的每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒的2倍，直到第64个格子，请国王满足我这个要求即可。试问：“同学们，这64个格子里的麦粒之和为多少？怎样计算呢？”不用多说，在这样的问题情景之下，学生带着渴求的心理去探究，课堂上学生不由自主地投入学习。

《义务教育数学课程标准》的基本理念是“以学生发展为本”“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”“发展学生的数学应用意识”，因此在实施素质教育的数学课堂教学中，要不断优化课堂教学方法，教师在教学中利用猜想，为学生创造了更多的自主思考机会，激发了学生学习的内驱力，发展了学生的潜在能力，使学生在认识所学知识、理解所学知识的同时，智力水平不断提高。使学生产生“疑而未解，又欲解之”的强烈愿望，进而转化为一种对知识的渴求，从而调动学生学习的积极性和主动性，达到提高课堂教学质量的目的。

参考文献：

[1]郑良.全面贯彻新课程理念，提高数学教学学生参与程度和课堂效率[J].浙江教育技术，2010（01）.

[2]王娟娟.课堂教学应重视鼓励性评价[J].作文教学研究，2007（05）.

编辑 董慧红