基于问题 成于发现

邢成云

爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”世界上许多发明创造都源于“疑问”，质疑是开启创新之门的钥匙，但要学生能发现问题、提出问题，能主动地质疑问难，就需要执教者营造一个激发学生动机的场。一元二次方程是初中学段的核心知识，也是落实数学应用价值的良好素材。但作为复习课，若处理不慎，学生往往情绪不高，这种“似曾相识”、没有多少新鲜度的课堂，难有心灵的震撼、智能的挑战。基于现实，需要让复习课冲破常态的平淡，通过具有挑战性的问题，激发学生的学习欲望，让学生体悟到复习课同样思维灵动、激情四射！通过“学答”到“学问”的转变，培养学生的问题意识，发展创新思维，让复习课成为知识内化、方法再建、思想升华的平台。

开放思维，启动课堂

师：根据自己对一元二次方程概念的理解，能写出一个你喜欢的一元二次方程吗？（生板演，其他同学互查）

生1：2x2+3x-4=0（1）

生2： x2-x-3=0（2）

生3：2x2+ x-3=0（3）

生4：x2-3=0 （4）

生5：x2+5x=0（5）

生6：ax2+bx+c=0（6）

师：就这6位同学写出的6个方程（为表述方便，编了序号），谁能提出一些问题供同学们思考？

生7：判断他们写的方程是否是一元二次方程？

生8：分别解这些方程。

生9：不解方程，判断这些方程实数根的情况。

生10：不解方程，求每一个一元二次方程两根的平方和？

…………

师：同学们表现非同一般，能提出这么多好问题！下面我们首先解答生7提出的问题。

大部分认为方程（1）～（5）都是一元二次方程，而（6）不是，有少数同学质疑方程（3）和（6）。

师：既然有不同的声音，我们就重新审视一下方程（3）、（6），认为（3）不是一元二次方程的同学，有谁说一下自己的理由是什么？

生11：因为里面有无理数 ，而一元二次方程需要保证是整式方程。

生（众）： 是无理数没错，但它也是整式啊！

师：同学们说得对，纵然是无理数，但属于整式中的单项式，因为——

生（众）：单独的一个数或一个字母都是单项式。

师：对（6）有疑问的同学请回答。

生12：老师，我现在知道了，需要a、b、c为常数，并且a不等于0才行。

师（追问）：哪你能写出一个含字母的一元二次方程吗？

生12：能，3x2+px+q=0，p、q都是常数。

师：好！不错。对于解方程，我相信同学们都能操作，现在我们不具体求解，看分别用什么方法较为合适？

生（众）：（1）求根公式法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）直接开平方法，（5）因式分解法。

…………

在本教学片段中，教师以开放题“根据自己对一元二次方程概念的理解，能写出一个你喜欢的一元二次方程吗”为先行组织者，诱发学生的问题欲，然后以问题：“就这6位同学写出的6个方程，谁能提出一些问题供同学们思考？”乘胜追击，引出其定义、解法、根的存在情况及其根与系数关系等知识，在交流中加深了对它们的理解，发展了思维能力，培养了问题意识；另外，通过交流活动，让学生进一步感知到方程个性特点对优化选择解方程方法的定位，渗透了解题的策略意识。从这一教学片段中不难发现，不管学生的数学水平高低，他们都带着自己的知识经验、思考、灵感参与到课堂教学活动中来，给课堂注入了活力，学生在多变情境的交互作用与思维的碰撞中，不断萌生出了新的问题（如一开始的6个方程、生7至生10的4个问题），见证了学生不凡的思考能力。作为课堂的组织者，教师及时甄别并捕捉到了这些生成性资源，或追问、或转问、或评点激励、或留白蓄势，将其整合、组织、协调、策划，把它们作为进一步开展教学的素材，问题意识就在这你来我往的过程中得以滋养、得以涵育。

值得称道的是，教师有意识地引导学生自己提出问题，开辟了学生问题意识涵育的重要路径，能让学生亲身体验到问题的提出不只是教师的专利，学生同样可以有自己的问题，可以解答自己的问题，而不仅是解答教师提出的问题，这种编拟问题的成就感会推动学生的深度思考，会有助于学生思维的发展，为创新意识的萌动积蓄能量。

纵向变式，引申课堂

师：好，同学们提出了这么多问题，并做了解答，特别是识别出了生6提供的方程不是一元二次方程，表现不错。下面哪一位同学对方程1做一下改造，使得系数变为待定字母，给学习增加一点挑战性。

生1：我变二次项系数，把“2”改为“2m-1”。

师（板书出来）：（2m-1）x2+3x-4 =0，这还是一元二次方程吗？

（学生有的说是，有的说不是）

师：为何不一致了，到底是不是呢？请同学们思考后交流。

生2：当m为常数时，就是一元二次方程；可以说是关于x的一元二次方程……

师：同学们说得合理吗？

生3：要保证是一元二次方程，需要2m-1≠0，

师：对，只有界定了2m-1≠0，才能保证它是关于x的一元二次方程，否则，就是一元一次方程了。这是这类问题的一道坎，需要我们当心！刚才同学们说得都非常好，说明大家对概念领会得不错。

师：我们就这一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出几个问题供思考、解答？

（甄别选择，锁定以下7个问题，并编序号（7）～（12））：

生2：（7）m为何值时，方程有两个不同的实数根？

生3：（8）m为何值时，方程有两个相同的实数根？endprint

生4：（9）m为何值时，方程没有实数根？

生5：（10）m为何值时，方程有实数根？

生6：（11）若方程的一个根为1，求m的值，并求方程的另外一个根是多少？

生7：（12）m为何值时，方程的两根互为倒数？

…………

师：同学们都有了自己的问题，现在呈现给大家6个较为典型的问题，请各位同学先思考定位，不具体求解，5分钟后交流思路。

生8：问题（7），让根的判别式大于0，然后解关于m的不等式。

生9（反驳）：不行，要用根的判别式，需要保证它是一元二次方程，本题说“方程有两个不同的实数根”暗示了这是个一元二次方程，因此要补上“2m-1≠0”！

生10：问题（8），在2m-1≠0的前提下，让Δ=0，解方程后综合确定即可。

生11：问题（9），在2m-1≠0的前提下，让Δ<0，解它们组成的不等式组即可。

生12（质疑）：不用考虑2m-1≠0，因为若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有实根。

师（点评）：这位同学认识深刻，想得全面，的确，不需要考虑2m-1的限制，若改为“m为何值时，一元二次方程没有实数根”同学们认为该如何思考？

生（众）：那就必须保证2m-1≠0！

师：说得好！有时候区别就在细节上，认真审题至关重要！

生13：问题（10），我认为它就是问题（7）、（8）综合在一块，在2m-1≠0的前提下，让Δ≥0，解它们组成的不等式组即可。

生14：方程有实根，并没有说有两个实根，因此，只考虑当2m-1≠0时Δ≥0，不全面，还需要考虑2m-1=0的时候。

…………

从逻辑上讲，一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系环环相扣、层层推进，构成了一个完整的、无缺口的单元知识链结构。而学生在知识结构的构建、理解上的偏差和学习上的遗忘等诸多原因，表现在“四基”上常常会出现缺口。因此，对学生而言，它可能是一个不完备的数学知识结构体系。基于此，教师在教学片段一的基础上，以问题“哪一位同学对方程（1）做一下改造，使得系数变为待定字母，给学习增加一点挑战性”起承，以“我们就这一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出几个问题供思考、解答”转合，再次放逐学生的思维，通过变动二次项系数，由“静”变“动”，拉大思维的场域，组织学生再次思维冲浪，把知识链二次凸显出来，形成新的经验，为以后的迁移造势、蓄能。整个教学片段，立足于知识的通透稳固、思维的缜密深入，在学生编拟题目与形成思路的过程中，教师有效地发挥了主导作用，通过变式与学生的深度参与，加强了对“四基”的梳理，使它们能顺利链接、有效融合，实现了“厚积”“薄发”，提高了综合运用知识的能力。

“发现问题、提出问题”是发展学生合情推理与逻辑推理的出发点，是发展思维的入口，不管是哪一类课型，学生能力的发展应当成为课堂的主脉。纵观这两个教学片段，执教者自始至终以激发学生的问题欲、激活学生的问题因子为先导，都在引领学生自己提出问题上下足了功夫，通过问题的一路开放，诱使学生主动提出问题、创编问题。使得不同层次的学生都有话可说，不至于在复习课上被边缘化，大大提高了学生的参与热情与参与度。“问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析”在本节课得以真情“绽放”。（本文系山东省教学研究课题——全息教学论下的跨越式教学（课题编号：pt-20120126）的阶段性成果之一。 ）

责任编辑 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.comendprint

生4：（9）m为何值时，方程没有实数根？

生5：（10）m为何值时，方程有实数根？

生6：（11）若方程的一个根为1，求m的值，并求方程的另外一个根是多少？

生7：（12）m为何值时，方程的两根互为倒数？

…………

师：同学们都有了自己的问题，现在呈现给大家6个较为典型的问题，请各位同学先思考定位，不具体求解，5分钟后交流思路。

生8：问题（7），让根的判别式大于0，然后解关于m的不等式。

生9（反驳）：不行，要用根的判别式，需要保证它是一元二次方程，本题说“方程有两个不同的实数根”暗示了这是个一元二次方程，因此要补上“2m-1≠0”！

生10：问题（8），在2m-1≠0的前提下，让Δ=0，解方程后综合确定即可。

生11：问题（9），在2m-1≠0的前提下，让Δ<0，解它们组成的不等式组即可。

生12（质疑）：不用考虑2m-1≠0，因为若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有实根。

师（点评）：这位同学认识深刻，想得全面，的确，不需要考虑2m-1的限制，若改为“m为何值时，一元二次方程没有实数根”同学们认为该如何思考？

生（众）：那就必须保证2m-1≠0！

师：说得好！有时候区别就在细节上，认真审题至关重要！

生13：问题（10），我认为它就是问题（7）、（8）综合在一块，在2m-1≠0的前提下，让Δ≥0，解它们组成的不等式组即可。

生14：方程有实根，并没有说有两个实根，因此，只考虑当2m-1≠0时Δ≥0，不全面，还需要考虑2m-1=0的时候。

…………

从逻辑上讲，一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系环环相扣、层层推进，构成了一个完整的、无缺口的单元知识链结构。而学生在知识结构的构建、理解上的偏差和学习上的遗忘等诸多原因，表现在“四基”上常常会出现缺口。因此，对学生而言，它可能是一个不完备的数学知识结构体系。基于此，教师在教学片段一的基础上，以问题“哪一位同学对方程（1）做一下改造，使得系数变为待定字母，给学习增加一点挑战性”起承，以“我们就这一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出几个问题供思考、解答”转合，再次放逐学生的思维，通过变动二次项系数，由“静”变“动”，拉大思维的场域，组织学生再次思维冲浪，把知识链二次凸显出来，形成新的经验，为以后的迁移造势、蓄能。整个教学片段，立足于知识的通透稳固、思维的缜密深入，在学生编拟题目与形成思路的过程中，教师有效地发挥了主导作用，通过变式与学生的深度参与，加强了对“四基”的梳理，使它们能顺利链接、有效融合，实现了“厚积”“薄发”，提高了综合运用知识的能力。

“发现问题、提出问题”是发展学生合情推理与逻辑推理的出发点，是发展思维的入口，不管是哪一类课型，学生能力的发展应当成为课堂的主脉。纵观这两个教学片段，执教者自始至终以激发学生的问题欲、激活学生的问题因子为先导，都在引领学生自己提出问题上下足了功夫，通过问题的一路开放，诱使学生主动提出问题、创编问题。使得不同层次的学生都有话可说，不至于在复习课上被边缘化，大大提高了学生的参与热情与参与度。“问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析”在本节课得以真情“绽放”。（本文系山东省教学研究课题——全息教学论下的跨越式教学（课题编号：pt-20120126）的阶段性成果之一。 ）

责任编辑 周瑜芽

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生4：（9）m为何值时，方程没有实数根？

生5：（10）m为何值时，方程有实数根？

生6：（11）若方程的一个根为1，求m的值，并求方程的另外一个根是多少？

生7：（12）m为何值时，方程的两根互为倒数？

…………

师：同学们都有了自己的问题，现在呈现给大家6个较为典型的问题，请各位同学先思考定位，不具体求解，5分钟后交流思路。

生8：问题（7），让根的判别式大于0，然后解关于m的不等式。

生9（反驳）：不行，要用根的判别式，需要保证它是一元二次方程，本题说“方程有两个不同的实数根”暗示了这是个一元二次方程，因此要补上“2m-1≠0”！

生10：问题（8），在2m-1≠0的前提下，让Δ=0，解方程后综合确定即可。

生11：问题（9），在2m-1≠0的前提下，让Δ<0，解它们组成的不等式组即可。

生12（质疑）：不用考虑2m-1≠0，因为若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有实根。

师（点评）：这位同学认识深刻，想得全面，的确，不需要考虑2m-1的限制，若改为“m为何值时，一元二次方程没有实数根”同学们认为该如何思考？

生（众）：那就必须保证2m-1≠0！

师：说得好！有时候区别就在细节上，认真审题至关重要！

生13：问题（10），我认为它就是问题（7）、（8）综合在一块，在2m-1≠0的前提下，让Δ≥0，解它们组成的不等式组即可。

生14：方程有实根，并没有说有两个实根，因此，只考虑当2m-1≠0时Δ≥0，不全面，还需要考虑2m-1=0的时候。

…………

从逻辑上讲，一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系环环相扣、层层推进，构成了一个完整的、无缺口的单元知识链结构。而学生在知识结构的构建、理解上的偏差和学习上的遗忘等诸多原因，表现在“四基”上常常会出现缺口。因此，对学生而言，它可能是一个不完备的数学知识结构体系。基于此，教师在教学片段一的基础上，以问题“哪一位同学对方程（1）做一下改造，使得系数变为待定字母，给学习增加一点挑战性”起承，以“我们就这一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出几个问题供思考、解答”转合，再次放逐学生的思维，通过变动二次项系数，由“静”变“动”，拉大思维的场域，组织学生再次思维冲浪，把知识链二次凸显出来，形成新的经验，为以后的迁移造势、蓄能。整个教学片段，立足于知识的通透稳固、思维的缜密深入，在学生编拟题目与形成思路的过程中，教师有效地发挥了主导作用，通过变式与学生的深度参与，加强了对“四基”的梳理，使它们能顺利链接、有效融合，实现了“厚积”“薄发”，提高了综合运用知识的能力。

“发现问题、提出问题”是发展学生合情推理与逻辑推理的出发点，是发展思维的入口，不管是哪一类课型，学生能力的发展应当成为课堂的主脉。纵观这两个教学片段，执教者自始至终以激发学生的问题欲、激活学生的问题因子为先导，都在引领学生自己提出问题上下足了功夫，通过问题的一路开放，诱使学生主动提出问题、创编问题。使得不同层次的学生都有话可说，不至于在复习课上被边缘化，大大提高了学生的参与热情与参与度。“问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析”在本节课得以真情“绽放”。（本文系山东省教学研究课题——全息教学论下的跨越式教学（课题编号：pt-20120126）的阶段性成果之一。 ）

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