数列综合应用

粟高军

本部分内容主要包含等差数列与等比数列的整合问题，数列与其他知识的交汇问题，以数列为背景的创新问题等，其主要考查公式的灵活应用能力、运算能力. 在客观题中，突出考查两种数列的整合问题，合情推理在数列中的应用，新定义问题等;而在解答题中，以中等难度题为主，重点考查数列与其他知识的综合问题，以及探索性问题、实际应用问题等.

重点：熟练掌握等差、等比数列的概念、通项公式和求和公式，熟悉等差、等比数列的性质，培养突破数列综合问题的能力;熟练把握等差、等比数列中的运算技巧，提高运算能力，准确定位解题的方向;善于利用数列知识解决一些实际问题.

难点：数列与不等式的交汇;数列与函数、方程的交汇;与数列有关的创新性试题，如实际应用问题、探索性问题、新定义问题等.

1. 解决等差数列与等比数列整合问题的基本策略

等差数列与等比数列整合问题一般与求通项公式及求和问题相联系，可利用通项公式或求和公式将已知的条件转化为这两个数列基本量所满足的方程，通过联立方程组求解. 同时，注意结合等差数列和等比数列的性质，灵活转化条件，建立已知和待求之间的联系，减少运算量，提高解题速度.

2. 突破数列与函数、方程的综合问题的三个转化

数列与函数、方程的综合问题一般与函数的性质与图象、方程的解、数列中的基本运算相联系，解决此类问题需要实现以下三个方向的转化：①函数条件的转化，直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的x换成n即可;②方程条件的转化，一般要根据方程解的有关条件进行转化;③数列向函数的转化，可将数列中的问题转化为函数的相应问题去处理，但要注意自变量取值范围的限制. 对于函数中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或方程有解的条件去解决

3.化解数列与不等式的综合问题的主要方法

数列与不等式的综合问题是近年来高考考查的热点问题，其中大多数以数列的通项或前n项和问题为背景，考查数列中的不等式的证明和不等式恒成立问题等. 求解与数列有关的不等式的证明问题的关键是抓住问题的本质，进行合理的变形、求和，最后进行放缩，从而得出结论. 求解与数列有关的不等式恒成立问题的方法是利用“参变分离”或其他技巧转化为求最值问题去处理，然后再利用对应函数的单调性或基本不等式求最值.

4. 求解数列应用题的三个步骤

数列应用题的求解过程类似于函数应用题的求解过程，一般分成如下三步：①建模，即认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题抽象为数列问题;②解模，即利用数列知识，解决建立的数列模型中的相关问题;③释模，即把已解决的数列模型中的问题还原到实际问题中去，确定实际问题的结果.

5. 解数列创新问题的常用技巧

数列中的创新试题主要包括新定义问题和探索性问题，求解技巧如下：①破解数列新定义问题的关键是理解题中所给的定义，把握其本质，再根据等差数列和等比数列的性质，熟练运用归纳类比、构造、正难则反、分类与整合等数学思想方法解题;②破解数列探索性问题的关键是先分清探索的类型，然后采取对应的策略处理.如条件探索性问题，往往采取分析法，从结论和部分条件入手，执果导因，导出所需条件;结论探索性问题，则需要充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论;存在探索性问题，则先假设存在，导出正确结论或导出矛盾，进而得出结论;规律探索性问题，则需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察分析、归纳类比来探路，最后总结得出需要的结论.

例1  设数列{an}的前n项的和为Sn，满足2Sn=an+1-2+1，n∈N？鄢，且a1，a2+5，a3成等差数列.

（1）求a1的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）证明：++…+<.

思索  细细品味该题，设计上层层递进，“简约不简单”. 该题有意识地从数列的递推关系出发，引导考生计算a1，继而求数列{an}的通项公式，最后落脚点就是第（3）小问. 虽然呈现形式是不等式，而实质还是数列求和. 对于第（3）小问，直接将不等式左边求和化简是不现实的，考虑不等式证明，我们自然想到将an=进行放大变形，继而求和化简.

破解  （1）由2Sn=an+1-2+1得2a1=a2-22+1，2（a1+a2）=a3-23+1. 又a1，a2+5，a3成等差数列，所以2（a2+5）=a1+a3，由此解得a1=1.

（2）因为2Sn=an+1-2+1，所以当n≥2时，2Sn-1=an-2n+1，所以2Sn-2Sn-1=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n（n≥2）.

因为a1=1，a2=5，所以当n=1时，an+1=3an+2n也成立.

因为an+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是以3为首项、3为公比的等比数列，所以an+2n=3n，an=3n-2n.

（3）（方法一：通项巧妙放缩，转化为等比数列的求和问题）

因为an=3n-2n=3+2×3-2n=3+2（3-2）>3，所以<，所以++…+<++…+=·1-<.

（方法二：通项巧妙放缩，进而用裂项相消法求和）

当n=1时，=1<，显然成立;当n=2时，+=1+<，显然成立.

当n≥3时，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C·2+C·22+…+C·2+2n-2n=1+C·2+C·22+…+C·2>C·22=2n（n-1）.

又因为a2=5>2×2×（2-1），所以当n≥2时，an>2n（n-1），所以可得<=-，所以+++…+<1+1-+-+endprint

…+-=1+1-<.

例2  已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）证明：数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.

（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项;若不存在，请说明理由.

（3）若1

？摇？摇思索  本题考查数列的递推公式，等差数列、等比数列的定义等基础知识;考查分类讨论、等价转化、函数方程等基本数学思想. 突破本题的关键是：（1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手. 本小题首先需要将已知条件an+1+an=3·2n变形为an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数），然后根据等比数列的定义可知数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小题首先假设在数列{an}中存在连续三项a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差数列，则2ak=ak-1+ak+1，代入通项公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差数列. （3）本小题首先根据a1，ar，as成等差数列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通过不定方程的分类讨论可得结论.

破解  （1）将已知条件a+an=3·2n变形为an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数）. 即数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由题意得2ak=a+a，将ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化简得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在满足条件的连续三项为a2，a3，a4成等差数列.

（3）若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，变形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1，ar，as成等差数列，此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中x为正奇数）上.

例3  已知数列{bn}的通项公式为bn=3×n-1+， Tn为{bn}的前n项和. 若对任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，则实数k的取值范围为________.

思索  本题属于数列和不等式的综合问题. 根据题意，首先需要将数列{bn}的前n项和Tn求出，然后代入不等式并进行变形，参变分离转化为求数列最值问题去处理.

破解  因为bn=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因为不等式≥2n-7，化简得k≥对任意n∈N？鄢恒成立. 设cn=，则cn+1-cn=-=. 当n≥5时，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n<5，cn+1>cn，{cn}为单调递增数列，=c4

1. 设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

2. 已知b>0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式;？摇

（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1.

参考答案

1. （1）依题意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）当n≥2时，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 两式相减得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故数列是首项为1、公差为1的等差数列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）当n=1时，=1<;当n=2时，+=1+=<;当n≥3时，=<=-. 此时++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

综上，对一切正整数n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令An=，A1=，当n≥2时，An=+An-1？摇=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）当b≠2时，欲证an=≤+1，只需证nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 当b=2时，an=2=+1. 综上所述，an≤+1.endprint

…+-=1+1-<.

例2  已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）证明：数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.

（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项;若不存在，请说明理由.

（3）若1

？摇？摇思索  本题考查数列的递推公式，等差数列、等比数列的定义等基础知识;考查分类讨论、等价转化、函数方程等基本数学思想. 突破本题的关键是：（1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手. 本小题首先需要将已知条件an+1+an=3·2n变形为an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数），然后根据等比数列的定义可知数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小题首先假设在数列{an}中存在连续三项a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差数列，则2ak=ak-1+ak+1，代入通项公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差数列. （3）本小题首先根据a1，ar，as成等差数列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通过不定方程的分类讨论可得结论.

破解  （1）将已知条件a+an=3·2n变形为an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数）. 即数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由题意得2ak=a+a，将ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化简得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在满足条件的连续三项为a2，a3，a4成等差数列.

（3）若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，变形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1，ar，as成等差数列，此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中x为正奇数）上.

例3  已知数列{bn}的通项公式为bn=3×n-1+， Tn为{bn}的前n项和. 若对任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，则实数k的取值范围为________.

思索  本题属于数列和不等式的综合问题. 根据题意，首先需要将数列{bn}的前n项和Tn求出，然后代入不等式并进行变形，参变分离转化为求数列最值问题去处理.

破解  因为bn=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因为不等式≥2n-7，化简得k≥对任意n∈N？鄢恒成立. 设cn=，则cn+1-cn=-=. 当n≥5时，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n<5，cn+1>cn，{cn}为单调递增数列，=c4

1. 设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

2. 已知b>0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式;？摇

（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1.

参考答案

1. （1）依题意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）当n≥2时，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 两式相减得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故数列是首项为1、公差为1的等差数列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）当n=1时，=1<;当n=2时，+=1+=<;当n≥3时，=<=-. 此时++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

综上，对一切正整数n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令An=，A1=，当n≥2时，An=+An-1？摇=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）当b≠2时，欲证an=≤+1，只需证nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 当b=2时，an=2=+1. 综上所述，an≤+1.endprint

…+-=1+1-<.

例2  已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）证明：数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.

（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项;若不存在，请说明理由.

（3）若1

？摇？摇思索  本题考查数列的递推公式，等差数列、等比数列的定义等基础知识;考查分类讨论、等价转化、函数方程等基本数学思想. 突破本题的关键是：（1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手. 本小题首先需要将已知条件an+1+an=3·2n变形为an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数），然后根据等比数列的定义可知数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小题首先假设在数列{an}中存在连续三项a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差数列，则2ak=ak-1+ak+1，代入通项公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差数列. （3）本小题首先根据a1，ar，as成等差数列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通过不定方程的分类讨论可得结论.

破解  （1）将已知条件a+an=3·2n变形为an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，则=-1（常数）. 即数列{an-2n}是以1为首项，公比为-1的等比数列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由题意得2ak=a+a，将ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化简得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在满足条件的连续三项为a2，a3，a4成等差数列.

（3）若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，变形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1，ar，as成等差数列，此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中x为正奇数）上.

例3  已知数列{bn}的通项公式为bn=3×n-1+， Tn为{bn}的前n项和. 若对任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，则实数k的取值范围为________.

思索  本题属于数列和不等式的综合问题. 根据题意，首先需要将数列{bn}的前n项和Tn求出，然后代入不等式并进行变形，参变分离转化为求数列最值问题去处理.

破解  因为bn=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因为不等式≥2n-7，化简得k≥对任意n∈N？鄢恒成立. 设cn=，则cn+1-cn=-=. 当n≥5时，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n<5，cn+1>cn，{cn}为单调递增数列，=c4

1. 设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

2. 已知b>0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式;？摇

（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1.

参考答案

1. （1）依题意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）当n≥2时，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 两式相减得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故数列是首项为1、公差为1的等差数列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）当n=1时，=1<;当n=2时，+=1+=<;当n≥3时，=<=-. 此时++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

综上，对一切正整数n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令An=，A1=，当n≥2时，An=+An-1？摇=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）当b≠2时，欲证an=≤+1，只需证nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 当b=2时，an=2=+1. 综上所述，an≤+1.endprint