查漏补缺之不等式

谢才兴

1. 不等式的概念与性质

（1）你还记得比较大小的常用方法吗？常用的技巧有哪些？

作答：______________________

（2）运用不等式基本性质应注意哪些问题？

作答：______________________

（3）含有绝对值不等式的基本性质你熟记了吗？

作答：______________________

（1）①比较大小常采用的方法有：作差法、作商法（两数或式的符号相同）、单调性法;

②比较大小常用技巧：分解因式、分子（分母）有理化、配方、分类讨论等.

（2）运用好不等式的基本性质一般情况下要做到：

①题设条件，挖掘隐含条件，恒等变形注意充要性;

②注意性质成立的条件，即不等式间的“充分”“必要”及“充要”条件.

③不能自己“制造”性质来运算.

（3）含有绝对值不等式的基本性质：

？摇①x0）？圳-a

？摇②x>a（a>0）？圳x<-a或x>a;

？摇③a-b≤a±b≤a+b;

？摇④a1+a2+a3≤a1+a2+a3，当a1，a2，a3同号时等号成立.

2. 不等式的解法

（1）一元二次不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（2）分式不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（3）高次不等式宜采用什么方法？

作答：______________________

（4）你知道解含绝对值不等式的方法吗？

作答：______________________

（5）对于含参不等式的解法，你认为要注意什么问题？

作答：______________________

（1）利用配方法或求根公式法求出其对应二次方程的根，再利用数形结合法求解.

（2）解分式不等式考虑用以下方法：

①分类讨论的思想方法;

②为了避免分类讨论，可以将分式不等式转化成整式不等式来简化运算，即>0？圳f（x）g（x）>0，≤0？圳f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.

（3）高次不等式宜采用穿针引线标根法，同时做到“奇穿偶不穿”.

（4）解含绝对值不等式的方法主要有公式法、平方法、分段去绝对值法.

（5）对于含参不等式：

①分类时要注意根据参数情形确定好不同的分类标准，做到不重不漏;

②对于mx2+bx+c>0型的含参不等式，须分m>0，m<0及m=0三种情形.

3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题

（1）解线性规划问题时，我们应注意什么？

作答：______________________

（2）如何求解线性规划应用题？

作答：______________________

（1）正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故力图作图准确;而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上.

（2）需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决. 求解程序如下：①设出未知数，列出约束条件，确定目标函数z=ax+by+c;②作出可行域;③作出直线l0：ax+by=0;④确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点;⑤解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值.

4. 基本不等式（≤（a，b≥0））及其应用

（1）应用均值定理求最值（取值范围）需要注意什么？如果在某取值范围内等号不能取得，你会如何处理？

作答：______________________

（2）最值常用的两个结论，你还铭记在心吗？

作答：______________________

（3）不等式中的一些常见结论你知道吗？

作答：______________________

（1）利用均值定理解题（一般是最值或取值范围问题）：

①在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧;

②切记一正（即条件中要求字母为正数）、二定（不等式的另一边必须为定值）、三相等（等号取得的条件），特别要注意等号成立的条件;

③当不能取等号时，可以考虑单调性法.

（2）求最值可用到两个结论，简述为“和定积最大”，即如果a+b是定值S，那么当且仅当a=b=时，ab有最大值;“积定和最小”，即如果ab是定值P，那么当且仅当a=b=时，a+b有最小值2.

（3）①重要不等式：a，b∈R？圯a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.

②柯西不等式：（a+a+…+a）·（b+b+…+b）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，当且仅当==…=时等号成立;特别地，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当=时等号成立.

③调和平均数≤几何平均数≤算术平均数，即

≤≤（a，b>0），当且仅当a=b时等号成立.endprint

1. 不等式的概念与性质

（1）你还记得比较大小的常用方法吗？常用的技巧有哪些？

作答：______________________

（2）运用不等式基本性质应注意哪些问题？

作答：______________________

（3）含有绝对值不等式的基本性质你熟记了吗？

作答：______________________

（1）①比较大小常采用的方法有：作差法、作商法（两数或式的符号相同）、单调性法;

②比较大小常用技巧：分解因式、分子（分母）有理化、配方、分类讨论等.

（2）运用好不等式的基本性质一般情况下要做到：

①题设条件，挖掘隐含条件，恒等变形注意充要性;

②注意性质成立的条件，即不等式间的“充分”“必要”及“充要”条件.

③不能自己“制造”性质来运算.

（3）含有绝对值不等式的基本性质：

？摇①x0）？圳-a

？摇②x>a（a>0）？圳x<-a或x>a;

？摇③a-b≤a±b≤a+b;

？摇④a1+a2+a3≤a1+a2+a3，当a1，a2，a3同号时等号成立.

2. 不等式的解法

（1）一元二次不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（2）分式不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（3）高次不等式宜采用什么方法？

作答：______________________

（4）你知道解含绝对值不等式的方法吗？

作答：______________________

（5）对于含参不等式的解法，你认为要注意什么问题？

作答：______________________

（1）利用配方法或求根公式法求出其对应二次方程的根，再利用数形结合法求解.

（2）解分式不等式考虑用以下方法：

①分类讨论的思想方法;

②为了避免分类讨论，可以将分式不等式转化成整式不等式来简化运算，即>0？圳f（x）g（x）>0，≤0？圳f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.

（3）高次不等式宜采用穿针引线标根法，同时做到“奇穿偶不穿”.

（4）解含绝对值不等式的方法主要有公式法、平方法、分段去绝对值法.

（5）对于含参不等式：

①分类时要注意根据参数情形确定好不同的分类标准，做到不重不漏;

②对于mx2+bx+c>0型的含参不等式，须分m>0，m<0及m=0三种情形.

3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题

（1）解线性规划问题时，我们应注意什么？

作答：______________________

（2）如何求解线性规划应用题？

作答：______________________

（1）正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故力图作图准确;而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上.

（2）需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决. 求解程序如下：①设出未知数，列出约束条件，确定目标函数z=ax+by+c;②作出可行域;③作出直线l0：ax+by=0;④确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点;⑤解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值.

4. 基本不等式（≤（a，b≥0））及其应用

（1）应用均值定理求最值（取值范围）需要注意什么？如果在某取值范围内等号不能取得，你会如何处理？

作答：______________________

（2）最值常用的两个结论，你还铭记在心吗？

作答：______________________

（3）不等式中的一些常见结论你知道吗？

作答：______________________

（1）利用均值定理解题（一般是最值或取值范围问题）：

①在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧;

②切记一正（即条件中要求字母为正数）、二定（不等式的另一边必须为定值）、三相等（等号取得的条件），特别要注意等号成立的条件;

③当不能取等号时，可以考虑单调性法.

（2）求最值可用到两个结论，简述为“和定积最大”，即如果a+b是定值S，那么当且仅当a=b=时，ab有最大值;“积定和最小”，即如果ab是定值P，那么当且仅当a=b=时，a+b有最小值2.

（3）①重要不等式：a，b∈R？圯a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.

②柯西不等式：（a+a+…+a）·（b+b+…+b）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，当且仅当==…=时等号成立;特别地，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当=时等号成立.

③调和平均数≤几何平均数≤算术平均数，即

≤≤（a，b>0），当且仅当a=b时等号成立.endprint

1. 不等式的概念与性质

（1）你还记得比较大小的常用方法吗？常用的技巧有哪些？

作答：______________________

（2）运用不等式基本性质应注意哪些问题？

作答：______________________

（3）含有绝对值不等式的基本性质你熟记了吗？

作答：______________________

（1）①比较大小常采用的方法有：作差法、作商法（两数或式的符号相同）、单调性法;

②比较大小常用技巧：分解因式、分子（分母）有理化、配方、分类讨论等.

（2）运用好不等式的基本性质一般情况下要做到：

①题设条件，挖掘隐含条件，恒等变形注意充要性;

②注意性质成立的条件，即不等式间的“充分”“必要”及“充要”条件.

③不能自己“制造”性质来运算.

（3）含有绝对值不等式的基本性质：

？摇①x0）？圳-a

？摇②x>a（a>0）？圳x<-a或x>a;

？摇③a-b≤a±b≤a+b;

？摇④a1+a2+a3≤a1+a2+a3，当a1，a2，a3同号时等号成立.

2. 不等式的解法

（1）一元二次不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（2）分式不等式的求解方法，你还记得吗？

作答：______________________

（3）高次不等式宜采用什么方法？

作答：______________________

（4）你知道解含绝对值不等式的方法吗？

作答：______________________

（5）对于含参不等式的解法，你认为要注意什么问题？

作答：______________________

（1）利用配方法或求根公式法求出其对应二次方程的根，再利用数形结合法求解.

（2）解分式不等式考虑用以下方法：

①分类讨论的思想方法;

②为了避免分类讨论，可以将分式不等式转化成整式不等式来简化运算，即>0？圳f（x）g（x）>0，≤0？圳f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.

（3）高次不等式宜采用穿针引线标根法，同时做到“奇穿偶不穿”.

（4）解含绝对值不等式的方法主要有公式法、平方法、分段去绝对值法.

（5）对于含参不等式：

①分类时要注意根据参数情形确定好不同的分类标准，做到不重不漏;

②对于mx2+bx+c>0型的含参不等式，须分m>0，m<0及m=0三种情形.

3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题

（1）解线性规划问题时，我们应注意什么？

作答：______________________

（2）如何求解线性规划应用题？

作答：______________________

（1）正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故力图作图准确;而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上.

（2）需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决. 求解程序如下：①设出未知数，列出约束条件，确定目标函数z=ax+by+c;②作出可行域;③作出直线l0：ax+by=0;④确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点;⑤解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值.

4. 基本不等式（≤（a，b≥0））及其应用

（1）应用均值定理求最值（取值范围）需要注意什么？如果在某取值范围内等号不能取得，你会如何处理？

作答：______________________

（2）最值常用的两个结论，你还铭记在心吗？

作答：______________________

（3）不等式中的一些常见结论你知道吗？

作答：______________________

（1）利用均值定理解题（一般是最值或取值范围问题）：

①在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧;

②切记一正（即条件中要求字母为正数）、二定（不等式的另一边必须为定值）、三相等（等号取得的条件），特别要注意等号成立的条件;

③当不能取等号时，可以考虑单调性法.

（2）求最值可用到两个结论，简述为“和定积最大”，即如果a+b是定值S，那么当且仅当a=b=时，ab有最大值;“积定和最小”，即如果ab是定值P，那么当且仅当a=b=时，a+b有最小值2.

（3）①重要不等式：a，b∈R？圯a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.

②柯西不等式：（a+a+…+a）·（b+b+…+b）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，当且仅当==…=时等号成立;特别地，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当=时等号成立.

③调和平均数≤几何平均数≤算术平均数，即

≤≤（a，b>0），当且仅当a=b时等号成立.endprint