不等式的解法

车树勤

本部分内容由解一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、绝对值不等式组成. 客观题主要考查以上不等式的基本解法，或已知二次函数零点的分布考查参数的取值范围;主观题常把对不等式的考查与其他知识相结合，比如考查导数及其应用为主的试题中，解不等式在判断函数单调性方面起到了关键作用.

重点：对于以上各种类型，一要熟练掌握它们各自的典型解法;二要注重提升运算的准确性.

难点：含参不等式要做到正确分类，以做到各种情况不重不漏.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式的解法

（1）解一元一次不等式时要考虑x项的系数是否为零，以及正负情况.

（2）解一元二次不等式先将二次项系数化正，再借助对应的二次函数的图象写出解集. 对于含参数不等式，由于参数的取值不确定，所以往往需要进行分类讨论.

2. 高次不等式、分式不等式的解法

？摇（1）解高次不等式时，把不等式化为一边是0，另一边可分解为关于x的一次或二次因式的积或商的形式，用“序轴标根法”求解. 注意每个因式中x的系数要为正，且穿根时“奇穿偶回”.

（2）解分式不等式时不能随意去分母，只有在确切地判定了分母的符号的情况下，才可以考虑去分母;在用穿根法（序轴标根法）解题时，要注意区分“空心点”和“实心点”，不能随意画. 分式不等式的常见解法：>0或<0？圳p（x）·q（x）>0（或p（x）q（x）<0）;≥0或≤0？圳p（x）q（x）≥0，q（x）≠0或p（x）q（x）≤0，q（x）≠0..

3. 绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解. 解题的过程仍是转换、化归、化简的过程. 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等.

解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要忘记对区间端点的讨论.

4. 指、对数不等式

（1）指数不等式：转化为代数不等式①af（x）>ag（x）（a>1）？圳f（x）>g（x）;af（x）>ag（x）（0b（a>0，b>0）？圳f（x）·lga>lgb.

（2）对数不等式：转化为代数不等式①logaf（x）>logag（x）（a>1）？圳f（x）>0，g（x）>0，f（x）>g（x）;logaf（x）>logag（x）（00，g（x）>0，f（x）

5. 无理不等式的解法

无理不等式的常见类型及等价形式：

（1）>？圳

f（x）≥0g（x）≥0？摇？圯定义域，f（x）>g（x）;

（2）>g（x）？圳

f（x）≥0，g（x）≥0，f（x）>[g（x）]2，或f（x）≥0，g（x）<0;

（3）

f（x）≥0，g（x）>0，f（x）<[g（x）]2.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式

例1  解关于x的不等式a（x-ab）>b（x+ab）.

思考  对原不等式进行展开，移项整理成cx>d的形式;在把c除到右边之前要考虑c的取值情况，分c>0，c=0，c<0三种情况进行讨论，特别是当c=0时要根据d的正负来确定.

破解  将原不等式展开，整理得（a-b）x>ab（a+b），当a>b时，x>;当a=b时，若a=b≥0时x∈，若a=b<0时x∈R;当a

例2  （1）关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为xx<-2或x>-，求关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集.

（2）解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0，其中a>0.

思考  （1）根据不等式的解集可以知道a应该为负数，可知不等式ax2-bx+c>0的解集的结果应该是取中间. 但是两个条件三个未知数，不可能解出a，b，c的值，观察两个不等式的特征可以对不等式进行变形，转化为已知的不等式来解，根据方程根的情况写出解集. （2）这是一个含有参数的一元二次不等式，在求解时可以对其进行因式分解，求出方程的两个根，当然有一个根是含有参数a的，所以要比较两个根的大小，则须按照a的取值大小进行分类，两个根相等的情况不能遗漏.

破解  （1）由题可知，a<0且-=

-，=1，从而ax2-bx+c>0可以变形为x2-x+<0，即x2-x+1<0 ，所以

（2）由一元二次方程ax2-（a+1）x+1=0的根为x1=1，x2=知，

①当>1，即0

②当0<<1，即a>1时，不等式ax2-（a+1）x+1<0的解集为，1.

③当=1，即a=1时，不等式ax2-（a+1）x+1<0的解集为.

2. 高次不等式、分式不等式endprint

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式，但是有的同学在解的时候，常会直接把分母乘到右边，而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时，16<（x-1）2，解得x>5;当x-1<0时，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2  原不等式化为>0，转化为（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集为R;（3）若不等式的解集为，分别求m的取值范围.

思考  首先，得到式子x-2-x-3的取值范围;其次，若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R，则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f（x）=x-2-x-3，则得分段函数f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，则m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法，转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1，还是小于1且大于0. 若底数不能确定，则需分类讨论. 解对数不等式时，可以把对数两边换成同底，利用单调性来比较真数的大小，同时还要注意真数为R+的条件.

破解  （1）原不等式可化为2<2-3（x-1），因为底数2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？摇？摇 （2）由已知，原不等式等价于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式，通常是进行平方求解，但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负，当右边为正数时两边才可以同时平方，同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零，则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为（    ）

A. 5或8？摇 B. -1或5？摇

C. -1或-4？摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 当x=-时， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 当a<2时，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，当x=-时， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.综上可知，a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化为24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？摇①.

（1）当m>1时，由①得1<22x

（2）当m=1时，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）当0

（4）当m≤0时，由①得22x<1，所以x<0.

综上所述：当m>1时，原不等式的解集为0，log2m;当m=1时，原不等式的解集为;当0

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式，但是有的同学在解的时候，常会直接把分母乘到右边，而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时，16<（x-1）2，解得x>5;当x-1<0时，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2  原不等式化为>0，转化为（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集为R;（3）若不等式的解集为，分别求m的取值范围.

思考  首先，得到式子x-2-x-3的取值范围;其次，若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R，则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f（x）=x-2-x-3，则得分段函数f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，则m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法，转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1，还是小于1且大于0. 若底数不能确定，则需分类讨论. 解对数不等式时，可以把对数两边换成同底，利用单调性来比较真数的大小，同时还要注意真数为R+的条件.

破解  （1）原不等式可化为2<2-3（x-1），因为底数2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？摇？摇 （2）由已知，原不等式等价于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式，通常是进行平方求解，但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负，当右边为正数时两边才可以同时平方，同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零，则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为（    ）

A. 5或8？摇 B. -1或5？摇

C. -1或-4？摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 当x=-时， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 当a<2时，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，当x=-时， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.综上可知，a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化为24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？摇①.

（1）当m>1时，由①得1<22x

（2）当m=1时，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）当0

（4）当m≤0时，由①得22x<1，所以x<0.

综上所述：当m>1时，原不等式的解集为0，log2m;当m=1时，原不等式的解集为;当0

例3  解不等式

思考  看似一个简单的分式不等式，但是有的同学在解的时候，常会直接把分母乘到右边，而忽视了分母的正负性.

破解1  当x-1>0时，16<（x-1）2，解得x>5;当x-1<0时，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2  原不等式化为>0，转化为（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解为{x-35}.

破解3  原不等式等价于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用标根法可得原不等式的解为{x-35}.

3. 绝对值不等式

例4  已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集为R;（3）若不等式的解集为，分别求m的取值范围.

思考  首先，得到式子x-2-x-3的取值范围;其次，若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集为R，则m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1  令f（x）=x-2-x-3，则得分段函数f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2  因为x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3  把x-2-x-3看做是数轴上的点x到2与3两点的距离之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，则m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，则m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集为，则m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、对数不等式

例5  解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考  利用对数函数的单调性及换元法，转化为代数不等式求解.必须注意底数是大于1，还是小于1且大于0. 若底数不能确定，则需分类讨论. 解对数不等式时，可以把对数两边换成同底，利用单调性来比较真数的大小，同时还要注意真数为R+的条件.

破解  （1）原不等式可化为2<2-3（x-1），因为底数2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？摇？摇 （2）由已知，原不等式等价于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 无理不等式

例6  解不等式>4-3x.

思考  对于无理不等式，通常是进行平方求解，但是平方的前提条件是要求不等式的两边都是正数.本题的不等式右边不能判断其正负，当右边为正数时两边才可以同时平方，同时还要保证被开方数大于或等于零;当右边小于零，则在被开方数大于或等于零时不等式恒成立.

破解  原不等式等价于下列两个不等式组的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为（    ）

A. 5或8？摇 B. -1或5？摇

C. -1或-4？摇 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解关于x的不等式>1+logax.

6. 解关于x的不等式 23x-2x

参考答案

1. D 当a≥2时， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 当x=-时， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 当a<2时，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，当x=-时， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.综上可知，a的值为-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化为24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？摇①.

（1）当m>1时，由①得1<22x

（2）当m=1时，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）当0

（4）当m≤0时，由①得22x<1，所以x<0.

综上所述：当m>1时，原不等式的解集为0，log2m;当m=1时，原不等式的解集为;当0