他山之石，可以攻玉

张雪娟

[摘 要] 在初中数学教学过程中，学生因为理解偏差而导致的解题失误时有发生，而将错误的解题方法运用到接下来的课堂，就是本文所要探讨的反例教学. 这种教学方法可以运用“错误”对比的形式使学生增强问题的认识度，提高课堂效率. 本文在提出反例教学实施要点的前提下，举出了其在概念掌握、解题速度提升等方面发挥的作用.

[关键词] 初中数学；反例；教学方法

中国古代哲学中有以虚补实、以实反虚的观点，认为正反两个方面的统一性远大于对立性，这给我们的初中教学带来很好的启示. 在数学教学过程中，加入反例教学，实际上就是用同一事物本来属性相左的方法，启迪学生进行深入思考，从而加深正确知识在头脑中的印象.

反例教学实施要点

任何教学方法的应用都应注意其要点，以避免出现空有其名而失其实的尴尬状态. 就反例教学来说，首先要注意引入的合理性，要按照学生年龄、心理等特点，针对学生知识结构体系不健全、思维局限等现状，选择那些切实可行的内容进行研究. 其次，反例教学的构建尤为关键，在很多时候，反例构建方法并不唯一，教师有责任调动学生的数学功底，使其充分展开想象. 比如，当讲解到与实数有关的内容时，教师可以给出思考问题：两个无理数之和肯定是无理数吗？此时，学生容易举出反例：像π与-π的和是零，为有理数. 通过对类似这样的问题进行深入探讨，不但能培养学生的发散思维，还能促进其理解具体的知识点. 第三，反例教学需逐层深入而非一蹴而就，教师应按照学生的认知发展逐层构建反例，将难题分级化解. 比如进行三角形全等判定定理教学时，当学生了解SSS，ASA，SAS，AAS等基本判定定理之后，教师可给出如下判断题：三个角分别相等的两个三角形全等；两边相等、其中一边的对角相等的两个三角形全等. 第一个问题相对容易，但是第二个问题却不太容易构建反例. 为了处理好该问题，教师可以先给出简易梯度问题，即先将某些边、某些角的相等条件固定下来，再给学生构建反例的思考机会. 比如可以先将∠A与∠A′相等、AC与A′C′固定下来，在此前提下让学生接下来思考：如BC与B′C′同时等于a，则BC或者是B′C′能够用接下来的作图法画出，用C（也可以是C′）当作圆心，a当作半径画弧，只要a可以满足必要条件，那么该弧就非常有可能同AB（A′B′）所在的直线存在两个交点，此时，再次构造不全等三角形的难度就大为降低.

明确概念，聚焦知识

反例教学可以帮助学生从另外一个角度对某些容易出现混淆的概念进行比对，了解其中存在的不同之处，使学生全面了解概念所具有的内涵及其相对应的外在联系，既知其然，又知其所以然. 实际上，在初中阶段，学生在教材上、课堂中所接触到的正面事例依然占据绝对比重，而正面事例越多，概念的相似点便会越多，学生则越会显得茫然而无所适从. 这种状态下产生的知识隐患是很大的，因为学生不易了解清楚知识的个性特点，不能明确把握概念本质. 反例教学则能从另外一个角度给出概念间的相异点，轻松加深对基本概念的理解程度.

比如，当学生接触函数知识时，相当一部分学生无法准确把握函数的基本概念，主观片面地认为只要是某一个变量跟随另外一个变量发生变化，那么这两个变量就是函数关系. 若教师仅仅依靠普通的正面教学方法，即便罗列出再多的实例，学生可能依然不能发现自身的思维错误，这是因为那些从正面角度进行思考的事例的确符合学生意识中的“某一个变量跟随另外一个变量发生变化”的特征. 如此一来，不但不会起到良好的正面纠错功能，反而可能强化学生的错误理解. 如果引入反例教学，情况则很容易得到改观. 教师可以首先在课堂上给学生准备如下几个问题，第一个问题：如果y=x，那么y与x是函数关系吗？第二个问题：如果y=x，那么，y与x是函数关系吗？第三个问题，我们大家平时的学习成绩与学习时间是函数关系吗？有了这几个问题的对比，大家就会站在反面的角度认识到自身的认知局限，明白问题三，即使学习时间同成绩之间会发生一定关联，然而却不是完全对应的，这就与函数的概念不相符合，并不是函数关系. 通过这种反例对比方法，学生的概念认知与思维能力将会更进一层.

反向思维，增加速度

在初中数学学习过程中，会接触到数量众多的问题，这些问题抽象性强、不易理解，如果这些问题一直得不到正确对待，那么继而会出现审题错误、解题过程错误、结果错误一系列问题. 有些数学问题按照常规思维进行思考，通常会走到错误的路径中去，越解答情况越复杂. 而若是学生能够利用换位思考，采取反向思维，则问题往往更容易得到解决. 尤其是对于判断题来说，反例是提高解决问题速度的不二法门. 对于那些不容易从正面进行断定的选项内容而言，最为直接的办法就是举出可以推翻它的反例.

比如要求我们判断：?a∈N，a2-a+11必然为质数. 如果教师一味带领学生站在正面思维角度去考虑问题，并不容易给出答案；若此时恰当地引入反例法，要求学生主动列举出一些特殊数字，学生不难想到11这个数字，将11带入式子中予以计算，可以得出a2-a+11并不完全是质数的结论，问题就此迎刃而解：该题的判断结果是错误的.

再比如，解答某些选择题时，同样可以利用反例法将错误选项排除出，熟练运用逆向思维解决解题速度缓慢的问题. 例如，已知+=0，那么下述几个选项正确的是（ ）

A. ab<0 B. ab=0

C. ab>0 D. a，b是所有实数

解题思路可以是这样：假设a=1，b=-1，与题设相符，但是ab≠0，则可以将B，C两个选项排除掉；假设a=0，b=0，则研究失去意义，可将D选项排除掉，所以结论只能选择A.

缜密思维，剔除错误

首先反例教学有利于缜密思维，有些题设中暗含着某些前提条件，若学生只是站在正面的角度通过公式与法则进行处理，则往往会忽略掉一些重要前提，出现百密而一疏的失误，让最终的解答结果发生错误. 比如，学生经常会遗漏法则、定理、公式等的利用条件，而仅仅关注其结论，在不进行分析的情况下任意套用. 因此，教师在教学过程中，一方面要讲清楚法则、定理、公式等的结论及使用范围，另一方面也要采取适当举反例的办法，让学生了解其利用条件，以便更牢固地接纳所学知识.

例如，已知二次函数y=mx2-3x+2同x轴存在两个交点，要求m的取值范围. 如果学生仅仅是生搬硬套现有公式，片面地以为Δ≥0便可，那么会给出m≤的结论. 很明显，这样题解是不正确的. 题目中所给的条件是二次函数，但m=0仍包含在结论中，且此时函数已经演变为一次函数，同题设相违背，所以必须把题解m≤这一结论中的m=0去掉. 通过这种反例列举的办法，同学们会对本题留下较为深刻的印象，在日后的学习过程中会更为留心隐含条件，形成缜密的思维.

其次，反例教学有利于对错误推理的否定，比如我们对下述两个推理进行正误判断. 一，由于的倒数为a这个结论正确，因此b的倒数为同样正确. 但当b=0的情况出现时，没有意义，所以该结论不成立. 二，由于ax=b（a≠0），等式两边同时乘a的倒数，会得到正确结论x=，因此在不等式ax≥b（a≠0）两边同时乘a的倒数，也会得到正确结论x≥. 而例外情况是，假设a为负数，那么不等式两侧同时除以负数，则不等号方向会出现变化，所以该结论不成立.

通过上述两例显然说明，反例能够直接对假命题进行否定，帮助学习者及时找到问题的突破口，避免啰嗦而未必有效果的求证过程. 另外，反例教学法还可以帮助学生增强必要的逻辑素养，使其更具探索精神与创新思维. 这正如英国科学家牛顿在解释其之所以做出伟大科学成就的原因时所说：如果不进行大胆的反向猜想，伟大的发现还要迟到一百年.

治理洪水，疏通胜于截堵；纠正知识错误，引导胜于回避. 教师无论如何不能仅仅在避免错误发生上下工夫，还应当善加利用错误，使其成为教学素材，让学生在接触“错误”时加深对知识的理解，形成积极的解题习惯，进而预防错误的再次出现.