精心设计习题 提高课堂效能

黄健

[摘 要] 随着新课程改革的深入实施，优化数学习题效能的呼声愈发强烈. 在教学实践中，如何设计出高效能的数学习题，是许多教师普遍关注的问题. 本文中，笔者结合教学实践，从新授课、复习课两个方面谈谈对数学习题设计的个人见解.

[关键词] 课堂效能；高效课堂；习题设计；思维能力

习题是数学学习的灵魂，是学生思维过程外在呈现的有效载体. 因此，教师在教学中要针对不同的课型设计出高效能的习题，充分挖掘习题的“可再生资源”，帮助学生构建知识储备，提高其思维能力与创新意识.

新授课的习题设计

1. 导入性习题

导入性习题是教师为了能循序渐进地开展教学，帮助学生从原有的认知结构自然地过渡到新知识的迁移而设置的. 在新授课中，它常被教师作为教学情境使用. 俗话说：“良好的开端是成功的一半”，所以导入性习题设置的成败直接关系着课堂质量的好坏. 教师在设置此类习题时，应做好新、旧知识的衔接，形成旧知识对新知识的正迁移.

例如，教师在新授“同底数幂的乘法”时，可以设置如下的导入性习题.

（1）计算下列各式： 102×104；104×105；103×105.

（2）怎样算10m·10n （m，n是正整数）？

（3）当m，n是正整数时，2m·2n等于什么？

m·

n呢？

说明：学生根据原有的旧知识——幂的意义，可以很顺利地完成第（1）题的计算，此时教师再因势利导，把（2）（3）两题幂的指数一般化，通过引导学生观察比较前、后底数和指数的关系，水到渠成地得出同底数幂的乘法运算性质. 这样，经过一步步由浅入深的探讨，不仅符合学生的认知规律，使学生体会到新知识不“新”，而且巩固了知识的生成过程.

特别强调的是：“导无定法”，所以教师应根据不同的课型设计不同的导入方式，切不可千篇一律地对任何课型都以导入性习题作为教学情境.

2. 巩固性习题

巩固性习题是课堂教学不可或缺的组成部分，它的设置可以安排在新授课结束后，也可以穿插在新授课的过程中，其目的是反馈学生对学习内容的掌握情况及教师教学目标的达成情况. 由于数学课程要面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性，因此，教师在设计此类习题时要遵循由易到难、由浅入深的原则，使学生的思维坡度循序渐进. 可以考虑从以下几个方面进行设计.

（1）准备性习题

学生的思维能力只有接近学习的“最近发展区”，才会得到最实效的发展，因此，教师应根据学生的心理特征以及实际学情，精心设计出恰如其分的准备性习题，让学生“跳一跳”都能摸得着，并通过仔细观察、积极思考，正确地掌握知识的本质属性.

例如，在“同底数幂的乘法”一节中， 苏科版教材安排了这样一道习题：

已知am=8，an=32，求am+n的值.

此题考查的是学生逆向运用同底数幂的乘法运算性质，如果学生在学完整个章节——“幂的运算”后再练习这样的题型，相信多数学生都能解决得很好. 但这是新授课，由于多数学生对新授的性质法则还没能做到熟练应用，所以为了帮助学生做一个知识“缓冲”，我们可以设计如下的准备性习题作为铺垫.

填写下列空格：

①x5·x （ ）=x3·x7=x （ ）·x6=x·x （ ） ；

②an+1·a （ ）=a2n+1=a·a （ ）；

③a2n·a （ ）=an+2·a （ ）=a2n+2=a （ ）·an+1.

这三个填空题的设置对学生求am+n的值具有探索价值，它们可以帮助学生找到突破口——同底数幂乘法运算性质的逆用，利用这个知识点学生便能很容易算出结果.

教师在设置这类习题时，要注意考虑区分度与跨度，既要激发学生学习数学的热情和信心，让其体验到成功的感觉，又不至于因习题太易而使他们失去认真思考的动力.

（2）拓展性习题

拓展性习题是在学生充分掌握解题技能后，将所学知识进行适当延伸与发展而设计的. 在新授课的教学中设置此类习题，不仅可以培养学生的发散思维，还能提高学生的学习兴趣. 但值得强调的是，教师要充分考虑学生的实际学情，注重个体差异，设置不同层次的拓展性习题.

例如，在“等腰三角形”的新授课中，教师可设计如下拓展性习题：

①已知等腰三角形的一内角为140°，求它的顶角；

②已知等腰三角形的一内角为40°，求它的顶角；

③已知等腰三角形的一内角的补角为140°，求它的顶角；

④已知等腰三角形的一内角的补角为40°，求它的顶角.

说明：对于C类学生，只要求尝试第①②题，B类学生完成第①②③题，而A类学生对这四题都要考虑.

教师要充分考虑学生的“数学能力”，从学生的“最近发展区”去分析设计此类习题，让不同层次的学生都“吃得饱且吃得好”.

复习课（练习课）的习题设计

1. 变式习题

复习课的习题变式一般应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法. 下面以“轴对称图形”一章为例，讲讲复习课中习题变式教学的一些方法.

（1） 改变特殊的已知条件，使其一般化

这种题目有利于培养学生思维的深刻性，是教师设计变式题应该加以考虑的重要方法，因为它符合由特殊到一般的认识规律，学生比较容易接受.

例如，如图1所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=40°，求∠BOC的度数.

变式1 如图1所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O.

①若∠A=40°，求∠BOC的度数.

②若∠A=120°，求∠BOC的度数.

变式2 观察以上计算结果，在条件不变的情况下，当∠A=n°时，你能否求出∠BOC的度数？证明你的结论.

本题循序渐进地改变了题目中的特殊条件，并将其推广使之一般化，得到一个普遍的结论，从而有效地引导了学生抓住本题的实质，提高了学生的学习效率.

（2）将常规题变为探究题

将常规题变为探究题，是设计变式题的又一途径. 探究性习题是指让学生在一定的数学原型的启发下，归纳、推理、探究出事物的规律，目的是培养学生的探究意识，提升学生的综合素养. 由常规题变换出来的探究题，对学生来说更富有挑战性.

例如：如图2所示，△A′B′C′的两个外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分线相交于点O′， ∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数.

[图2][B′][C′][E][D][O′][A′]

变式1 条件不变，若∠A′=n°，则∠B′O′C′的度数为多少？

变式2 由前一题的图1及本题的图2可以发现，综合两题的图及条件，当∠A=∠A′=n°时，∠BOC与∠B′O′C′之间有怎样的数量关系？

2. 归纳性习题

教师在设计习题时要尽量考虑相近知识点的联系，并对它们做出整合，以加强学生对该知识点的巩固，从而有效地培养学生的创新意识，提高学习数学的信心和探究兴趣.

例如，学完“相似三角形”后，为了让学生从定义、性质、判定等方面归纳、比较“相似三角形”与“全等三角形”的异同点，可以设计这样一道习题：

如图3所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，那么BC2=2CA·CD吗？试说明理由.

[图3][B][C][D][A]

思路1 如图4所示，设BC的中点为E，连结AE，然后证△BDC∽△AEC，可得BC·CE=CA·CD. 由于BC=2CE，代入可得BC2=2CA·CD.

[图4][B][C][D][A]

思路2 如图5所示，过点B作BE⊥BC，交CA的延长线于点E，可以得到Rt△CBD∽Rt△CEB，所以BC 2=CD·CE. 由于CE=2CA，代入可得BC 2=2CA·CD.

图5][B][C][D][E][A]

思路3 如图6所示，在DA上截取DE=DC，在△BED和△BCD中，因为BD⊥CE，所以∠BDE=∠BDC=90°. 又DE=DC，BD=BD，所以△BED≌△BCD. 所以∠BEC=∠C. 因为AB=AC，所以∠ABC=∠C. 所以△ABC∽△BEC. 所以=. 所以BC2=AC·EC=2CA·CD.

[图6][B][C][D][E][A]

说明：思路1和思路2都是运用三角形相似的性质和判定，而思路3则综合运用三角形全等与相似的性质和判定，虽然解法不算简便，但仍具有思考价值.