可数连续格上的两个扩张定理

占诗源，姜广浩

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

前人的研究中，Scott［1］第一次引入了连续格的概念.陆志军等［2］给出了可数连续格的定义，并且证明了可数连续格与连续格有很多相类似的性质.覃锋［3］给出了定向极小集的概念，并得到了连续格序同态的两个扩张定理.本文受此启发，引入可数定向极小集的概念，并得到了可数连续格序同态的两个扩张定理.关于连续格、定向极小集以及序同态的相关理论可参考文献［4－6］.文中的L，L1，L2都为完备格，Dc（L）为L中所有的可数定向子集所构成的集合.

1 预备知识

定义1［2］设L为一个完备格，D⊆L，若对于任一可数集C⊆D，存在d∈D，使得对于∀c∈C，c≤d，则称D是可数定向集，即D是关于可数集C定向的.

定义2［2］设L为一个完备格，其中a，b∈L，如果对于L中任意一个可数定向集D，b≤sup D，存在d∈D，使a≤d，则称a可数way－belowb，记作a≪cb.

定义3［2］设L为一个完备格，若对于∀a∈L，a＝sup｛b∈L｜b≪ca｝，则称L是一个可数连续格.

定义4［7］设L1，L2都为完备格，Dc（L1）为L1中所有的可数定向子集所构成的集合，映射f：L1→L2称为保可数定向sup的，如果对于∀D∈Dc（L1），都有f（sup D）＝sup f（D）.

定义5［7］设L1，L2都为完备格，映射f：L1→L2称为保≪c的，如果a≪cb，可推出f（a）≪cf（b）.

定义6 如果对于A∈Dc（x）且supA∈X，有g（sup A）＝supg（A），则称g：X→L2是保可数定向sup的.

定义7［7］设L1，L2都为完备格，如果映射f：L1→L2是保任意sup的，并且f－1是保可数定向sup的，其中f－1（b）＝sup｛a∈L1｜f（a）≤b｝，则称f为序同态.

定义8［7］设L为一个完备格，对于∀a∈L，记⇓a＝｛x∈L｜x≪ca｝，≪c称为可数逼近的，若对于∀a∈L，有a＝sup⇓a.

定义9［7］设a∈L，B∈Dc（L），B 称为a 的可数定向极小集，如果满足：

1）sup B＝a；

2）当D∈Dc（L）并且a≤sup D 时，对于∀b∈B，有d∈D，使得b≤d.

注1 可数定向极小集可简称为可数极小集.

命题1［7］设a∈L，B∈Dc（L），B 为a 的可数极小集，当且仅当supB＝a并且B⊆⇓a.

证 一方面，设B为a的可数极小集，设D∈Dc（L），a≤sup D.由定义9知，sup B＝a，且对∀b∈B，存在d∈D，使得b≤d.再由定义2得，b≪ca，故B⊆⇓a.另一方面，设supB＝a且B⊆⇓a，又设D∈Dc（L），a≤sup D，∀b≪ca，由定义2可知，存在d∈D，使得b≤d，故B为a的可数极小集.

定义10 设X⊂L，若对∀a，b∈L，a≪cb，有x∈X，使得a≪cx≪cb，那么称X在L中是≪c稠的.

注2 由上面定义可知，如果L中存在≪c稠子集，那么≪c在L上是满足插入性质的.若L为可数连续格，且X在L中是≪c稠的，那么对于∀a∈L，有a＝sup（ ⇓ a∩X）.

2 主要结论

定理1 设L1与L2都为可数连续格，X在L1中是≪c稠的，对于∀a∈X，⇓a∩X是X 中的可数定向集，并且g：X→L2是保可数定向sup的和保≪c的映射，那么g可以扩张成一个保可数定向sup的和保≪c的映射f：L1→L2，且扩张满足唯一性.

证 对于∀a∈L1，令f（a）＝sup g（ ⇓ a∩X）.

1）当a∈X时，由于g是保可数定向sup的，并且 X 在L1中 是 ≪c稠 的，则 有 f（a）＝g （sup（ ⇓ a∩X ））＝g（a），

2）证明f是保序的.对于∀a，b∈L1并且a≤b，有⇓a∩X⊆⇓b∩X，从而得到g（ ⇓ a∩X）⊆g（ ⇓ b∩X）.又由f的定义知f（a）≤f（b）.

3）证明f是保可数定向sup的.设A∈Dc（L）且supA＝a.由于f是保序的，只需要证明f（a）≤sup f（a）.对于∀x∈⇓a∩X，由于x≪ca，则存在ax∈A，使得x≤ax，从而有g（x）＝f（x）≤f（ax）≤sup f（a），所以f（a）≤sup f（a）.

4）证明f是保≪c的.设a，b∈L1且a≪cb.由于X在L1中是≪c稠的，则存在m，n∈X，使得a≪cm≪cn≪cb.又由于f是保序的，且g是保≪c的，则有f（a）≤f（m）＝g（m）≪cg（n）.再由f的定义可得g（n）≤g（b）＝f（b），所以f（a）≪cf（b）.

5）证明扩张满足唯一性.假设g还有一个扩张h，由上述的证明过程可知，对于∀s∈X，总有f（s）＝g（s）＝h（s），即h＝f.证毕.

定理2 设L1与L2都为可数连续格，并且X是L1中的≪c稠子集.对于∀a∈X，⇓a∩X是X中的可数定向集，映射g：X→L2满足：对于∀x∈X，有g把x的X 可数极小集映射成为g（x）的可数极小集，则g可扩张为一个保可数定向sup的和保≪c的映射f：L1→L2，且扩张满足唯一性.

证 由定理1，只需要证明g：X→L2是保可数定向sup的和保≪c的.

设∀a，b∈X，a≪cb，则有a∈⇓b∩X.因为g（ ⇓ b∩X）是g（b）的可数极小集，利用命题1有g（ ⇓ b∩X）⊆⇓g（b），所以g（a）≪cg（b）.

又设A∈Dc（X）且x＝sup A∈X，对于∀a∈X，由于g （⇓ a∩X）是g（a）的可数极小集，所以有g（a）＝sup g（ ⇓ a∩X），从而有

由定义7、定理1及定理2可得：

定理3 设L1与L2都为可数连续格，并且X为L1中的≪c稠子集.对于∀a∈X，⇓a∩X是X中的可数定向集.f：L1→L2为保有限sup的映射，那么下面的结果等价：

1）f是序同态；

2）f是保可数定向sup的，且f在X 中是保≪c的；

3）f是保可数定向sup的，且对于∀x∈X，f把x的X 可数极小集映成f（x）的可数极小集.

［1］Scott D S.Continuous lattices［M］／／Lawvere F W.Toposes，algebraic geometry and logic.Berlin：Springer，1972：97－136.

［2］陆志军，尤飞.可数连续格与局部 Lindelöf空间［J］.徐州师范大学学报：自然科学版，2008，26（3）：57.

［3］覃锋.连续格的序同态［J］.江西师范大学学报：自然科学版，2000，24（2）：126.

［4］Gierz G，Hofmann K H，Keimel K，et al.Continuous lattices and domains［M］.Cambridge：Camb Univ Press，2003.

［5］王戈平.完全分配格上的弱辅助序与广义序同态［J］.数学季刊，1988，3（4）：76.

［6］刘龙章，杨志辉，段龙松.关于定向极小集若干结果［J］.科技通报，2007，23（5）：626.

［7］占诗源，姜广浩.可数连续格的序同态［J］.淮北师范大学学报：自然科学版，2014，35（2）：7.