浅谈反例在初中数学教学中的作用

摘 要：恰当的反例从另一个角度让学生理解数学的本质，能加深学生对数学知识的理解，从而培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性和创新性。

关键词：反例；知识；命题

一、质疑中能有效掌握知识

从数学学习的特点看，教师所教的与学生所学的数学知识是前人已经创造出来的知识，在这个创造过程中充满了质疑、判断、分析，教学的过程一定意义上是这些过程的再现。通过针对性的质疑去引发学生的“观念冲突”，帮助学生将正确的观念和错误的观念进行比较，促其作出自觉的“选择”，而培养质疑就要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例。

例1.在讲授“无理数”这个概念时，我设计了这样一个思考题：

两个无理数的和是否一定为无理数？

这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。在此问题的基础上，我进一步追问：两个无理数的积是否一定为无理数？一个无理数与一个有理数的和或积是否一定是无理数？通过对这些问题做更多更深入的研究，不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。

二、预防学生易犯的错误

在学生学习过程中，正面看，有些错误很难被发现，但通过构造反例能让学生辨析错误，发现问题，矫正学生的认知偏差。

例2.判断下列数学命题的真假，并给出证明：有一条边和两个角相等的两个三角形全等。

学生先独立思考，然后师生共同完成。

分析：由于上述内容和教材中的定理不一致，大部分学生想了想回答说：“不一定”，这时我问道：“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的。在学生讨论时，我提示：“可以画出图形来说明。”此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试。最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下（其中一种）：

如下图，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明显，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命题为假命题。我的设计意图是通过例题的板书格式，让学生明确几何学中的假命题该怎么举，要注意什么问题，强调画图的必要性和文字的表达。并让学生知道如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。

通过上述反例教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“两角和这一角的一对边（SAA）”，而不是“两角和另一角的一对边（AAS）”。并知道了由上述反例可以说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的命题。这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生牢固掌握知识点。

三、提高思维的创新性

反例教学，对打破思维定式，弥补思维缺失起着独特的作用。反例的构造并不容易，没有统一的方法，有时比证明难，更需要大胆的质疑能力、丰富的联想力、敏锐的观察力和综合判断能力，是聚合思维与发散思维、纵向思维与横向思维的有机结合。

例3.如右图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论写出一个假命题，并举出一个反例说明。

假命题1：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。若AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：构造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD为一边，作等边三角形BCD（两个三角形拼成四边形），连结AC、BD交于点O。则AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA（符合所有条件），但四边形ABCD显然不是菱形。

假命题2：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延长DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。连结AB、BC、CD，则AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。则四边形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

构造反例的目的是要否定结论，因此反例的寻求必然能促使学生聚焦结论，执果索因，逆流而上，追本溯源。这需要正向思维与逆向思维的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，这给学生提供了独立思考的绝佳机会，因此构造反例是极具个性化的、带有鲜明个人色彩的、创造性的思维活动。

四、激发学生积极情感

“教不越位，学要到位。”课堂上要给学生营造好环境，让学生感受知识的形成过程，在学生的“疑”处“启”、“惑”时“导”，搭建好支架，让学生“自娱自乐”，大大提升学生的参与热情，这才是真正意义上的学习。

数学反例是数学课堂教学中的一个调节器。在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。因此，教师在教学过程中应合理地运用反例，适当地构造反例，提高教学效果。

参考文献：

[1]覃莲秋.在数学教学中巧用反例[J].中国科教创新导刊，2011（9）.

[2]郑辉龙.数苑奇葩话反例[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

[3]韩永华.一个假命题的反例及其构造[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

作者简介：王旭辉，男，1971年11月出生，本科，就职学校：福建省厦门市海沧区东孚学校，研究方向：初中数学教学与研究。endprint

摘 要：恰当的反例从另一个角度让学生理解数学的本质，能加深学生对数学知识的理解，从而培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性和创新性。

关键词：反例；知识；命题

一、质疑中能有效掌握知识

从数学学习的特点看，教师所教的与学生所学的数学知识是前人已经创造出来的知识，在这个创造过程中充满了质疑、判断、分析，教学的过程一定意义上是这些过程的再现。通过针对性的质疑去引发学生的“观念冲突”，帮助学生将正确的观念和错误的观念进行比较，促其作出自觉的“选择”，而培养质疑就要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例。

例1.在讲授“无理数”这个概念时，我设计了这样一个思考题：

两个无理数的和是否一定为无理数？

这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。在此问题的基础上，我进一步追问：两个无理数的积是否一定为无理数？一个无理数与一个有理数的和或积是否一定是无理数？通过对这些问题做更多更深入的研究，不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。

二、预防学生易犯的错误

在学生学习过程中，正面看，有些错误很难被发现，但通过构造反例能让学生辨析错误，发现问题，矫正学生的认知偏差。

例2.判断下列数学命题的真假，并给出证明：有一条边和两个角相等的两个三角形全等。

学生先独立思考，然后师生共同完成。

分析：由于上述内容和教材中的定理不一致，大部分学生想了想回答说：“不一定”，这时我问道：“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的。在学生讨论时，我提示：“可以画出图形来说明。”此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试。最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下（其中一种）：

如下图，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明显，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命题为假命题。我的设计意图是通过例题的板书格式，让学生明确几何学中的假命题该怎么举，要注意什么问题，强调画图的必要性和文字的表达。并让学生知道如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。

通过上述反例教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“两角和这一角的一对边（SAA）”，而不是“两角和另一角的一对边（AAS）”。并知道了由上述反例可以说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的命题。这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生牢固掌握知识点。

三、提高思维的创新性

反例教学，对打破思维定式，弥补思维缺失起着独特的作用。反例的构造并不容易，没有统一的方法，有时比证明难，更需要大胆的质疑能力、丰富的联想力、敏锐的观察力和综合判断能力，是聚合思维与发散思维、纵向思维与横向思维的有机结合。

例3.如右图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论写出一个假命题，并举出一个反例说明。

假命题1：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。若AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：构造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD为一边，作等边三角形BCD（两个三角形拼成四边形），连结AC、BD交于点O。则AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA（符合所有条件），但四边形ABCD显然不是菱形。

假命题2：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延长DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。连结AB、BC、CD，则AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。则四边形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

构造反例的目的是要否定结论，因此反例的寻求必然能促使学生聚焦结论，执果索因，逆流而上，追本溯源。这需要正向思维与逆向思维的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，这给学生提供了独立思考的绝佳机会，因此构造反例是极具个性化的、带有鲜明个人色彩的、创造性的思维活动。

四、激发学生积极情感

“教不越位，学要到位。”课堂上要给学生营造好环境，让学生感受知识的形成过程，在学生的“疑”处“启”、“惑”时“导”，搭建好支架，让学生“自娱自乐”，大大提升学生的参与热情，这才是真正意义上的学习。

数学反例是数学课堂教学中的一个调节器。在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。因此，教师在教学过程中应合理地运用反例，适当地构造反例，提高教学效果。

参考文献：

[1]覃莲秋.在数学教学中巧用反例[J].中国科教创新导刊，2011（9）.

[2]郑辉龙.数苑奇葩话反例[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

[3]韩永华.一个假命题的反例及其构造[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

作者简介：王旭辉，男，1971年11月出生，本科，就职学校：福建省厦门市海沧区东孚学校，研究方向：初中数学教学与研究。endprint

摘 要：恰当的反例从另一个角度让学生理解数学的本质，能加深学生对数学知识的理解，从而培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性和创新性。

关键词：反例；知识；命题

一、质疑中能有效掌握知识

从数学学习的特点看，教师所教的与学生所学的数学知识是前人已经创造出来的知识，在这个创造过程中充满了质疑、判断、分析，教学的过程一定意义上是这些过程的再现。通过针对性的质疑去引发学生的“观念冲突”，帮助学生将正确的观念和错误的观念进行比较，促其作出自觉的“选择”，而培养质疑就要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例。

例1.在讲授“无理数”这个概念时，我设计了这样一个思考题：

两个无理数的和是否一定为无理数？

这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数。在此问题的基础上，我进一步追问：两个无理数的积是否一定为无理数？一个无理数与一个有理数的和或积是否一定是无理数？通过对这些问题做更多更深入的研究，不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。

二、预防学生易犯的错误

在学生学习过程中，正面看，有些错误很难被发现，但通过构造反例能让学生辨析错误，发现问题，矫正学生的认知偏差。

例2.判断下列数学命题的真假，并给出证明：有一条边和两个角相等的两个三角形全等。

学生先独立思考，然后师生共同完成。

分析：由于上述内容和教材中的定理不一致，大部分学生想了想回答说：“不一定”，这时我问道：“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的。在学生讨论时，我提示：“可以画出图形来说明。”此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试。最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下（其中一种）：

如下图，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明显，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命题为假命题。我的设计意图是通过例题的板书格式，让学生明确几何学中的假命题该怎么举，要注意什么问题，强调画图的必要性和文字的表达。并让学生知道如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。

通过上述反例教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“两角和这一角的一对边（SAA）”，而不是“两角和另一角的一对边（AAS）”。并知道了由上述反例可以说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角形全等”是错误的命题。这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生牢固掌握知识点。

三、提高思维的创新性

反例教学，对打破思维定式，弥补思维缺失起着独特的作用。反例的构造并不容易，没有统一的方法，有时比证明难，更需要大胆的质疑能力、丰富的联想力、敏锐的观察力和综合判断能力，是聚合思维与发散思维、纵向思维与横向思维的有机结合。

例3.如右图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论写出一个假命题，并举出一个反例说明。

假命题1：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O。若AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：构造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD为一边，作等边三角形BCD（两个三角形拼成四边形），连结AC、BD交于点O。则AC⊥BD，AC平分对角线BD，∠OAD=∠ODA（符合所有条件），但四边形ABCD显然不是菱形。

假命题2：已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延长DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。连结AB、BC、CD，则AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。则四边形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

构造反例的目的是要否定结论，因此反例的寻求必然能促使学生聚焦结论，执果索因，逆流而上，追本溯源。这需要正向思维与逆向思维的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，这给学生提供了独立思考的绝佳机会，因此构造反例是极具个性化的、带有鲜明个人色彩的、创造性的思维活动。

四、激发学生积极情感

“教不越位，学要到位。”课堂上要给学生营造好环境，让学生感受知识的形成过程，在学生的“疑”处“启”、“惑”时“导”，搭建好支架，让学生“自娱自乐”，大大提升学生的参与热情，这才是真正意义上的学习。

数学反例是数学课堂教学中的一个调节器。在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性。因此，教师在教学过程中应合理地运用反例，适当地构造反例，提高教学效果。

参考文献：

[1]覃莲秋.在数学教学中巧用反例[J].中国科教创新导刊，2011（9）.

[2]郑辉龙.数苑奇葩话反例[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

[3]韩永华.一个假命题的反例及其构造[J].中学数学教学参考，2010（1/2）.

作者简介：王旭辉，男，1971年11月出生，本科，就职学校：福建省厦门市海沧区东孚学校，研究方向：初中数学教学与研究。endprint