数学的学术形态向教育形态的转化

杨雪金

摘 要：数学问题的解决过程本质上是人们在面对新的数学问题时，运用已有的数学知识，包括数学语言、概念、定理、法则和范例等，通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.结合教学的具体实例，将高中数学教学中的常见转化归纳为四类，力求将数学的学术形态转化为教育形态.具体为：将隐性条件转化为显性条件；将复杂条件转化为简单条件；将抽象条件转化为数学图象；将应用问题转化为数学建模.

关键词：高中数学；学术形态；教育形态；转化思想；应用

数学问题的解决过程本质上是人们运用已有的数学知识寻求所面对的数学问题的答案的过程.这些数学知识包括了数学语言、概念、定理、法则和范例等.

作为一种基本的数学思想，“转化”在高中数学的教学中随处可见.且不说三角函数中的和差化积、积化和差以及其他的三角恒等变化，单是《普通高中数学课程标准（实验）》中直接提到的“转化”就包括了以下内容：将一般对数转化成自然对数或常用对数、将自然语言转化为图形语言和符号语言、将具体问题的程序框图转化为程序语句、将实际问题转化为数学问题等等.因此，引导学生运用转化思想来解决数学问题，应当是高中数学教学中的重要目标之一.

这种将未知问题转化为熟知可解问题的思想方法，说到底就是化“生”为“熟”，见新思故，就是通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.梳理高中数学解题中蕴含的转化思想，笔者觉得大致可以从以下几个方面去化生为熟，将生问题转化为熟问题.

一、将隐性条件转化为显性条件

很多数学概念有其隐含条件.比如，解三角形时，若其中有一个角是直角或钝角，另两个角则必为锐角.又如，求PA+PB的最小值时，要善于挖掘两点之间线段最短.解题时，应引导学生将题目中概念的隐含条件转化为显性条件，直接作为已知条件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：刚学习组合数这一概念时，有的学生不经思考就直接套用公式，当然是徒劳无功.其实，按照组合数的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），这就是学生熟知的知识点，却是隐含于题目中.当学生能够完成这一隐性到显性的转化时，自然不难得出n=6.这样，原题即转化为C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值为31.

二、将复杂条件转化为简单条件

如，在解方程、解不等式时，可灵活地转化为函数的关系，又如，将超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整式、多元式化为一元式、高次化为低次；在立体几何中常把空间问题转化为平面问题等等，都是将复杂转化为简单.

例2.设不等式2x-1>m（x2-1）对满足m≤2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围.

分析：原题看似一个关于m的一次不等式，解题时就要对x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分别进行讨论，计算繁琐，而且容易出错.考虑到题目中m≤2的条件，再将原不等式简单变形，我们可以把原题转化成一个等价命题.即关于m的一次函数f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定义 三、将抽象条件转化为数学图象

四、将应用问题转化为数学建模

比如，测量一个建筑物的高度，或测量河对岸两点间的距离，可以转化为解斜三角形的问题.又如，银行的复利、等额还款的一些问题可以转化为数列问题。

例4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平等于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长.（精确到1米）（2008年上海高考卷第17题）

分析：这是一道典型的数学应用题.命题者已经初步给我们建立了数学模型.结合高中所学知识，学生应该易于将此问题转化为解斜三角形的问题.经过转化之后，学生不必被原题中的时间与速度所困扰，而只需寻找三角形中边与角之间的关系了.由题可知CD和DA的长度及角O的度数，利用题中的平行条件即可知道∠ADC的度数.联系它们之间的关系就是两边夹角，就不难想到这时利用余弦定理解斜三角形的问题.有了模型，解题就方便了，只要找出三角形，这道题就迎刃而解了.

答：该扇形的半径OA的长约为445米.

在数学教学中，我们需要不失时机地渗透转化思想，将数学的学术形态转化为教育形态，不但教会学生基础知识与基本能力，而且培养学生的转化意识，优化学生化生为熟的思维品质，体验“量的关系与空间形式”（恩格斯语）之美，感受数学的学科魅力，真正提高学生的数学素养.

参考文献：

[1]林清.浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用.福建教育学院学报，2008（12）.

[2]魏华斌.数学中常用的5种转化思想.湖北职业技术学院学报，2008（03）.

[3]李智.例谈转化思想在立体几何教学中的运用.新课程研究：基础教育，2009（06）.endprint

摘 要：数学问题的解决过程本质上是人们在面对新的数学问题时，运用已有的数学知识，包括数学语言、概念、定理、法则和范例等，通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.结合教学的具体实例，将高中数学教学中的常见转化归纳为四类，力求将数学的学术形态转化为教育形态.具体为：将隐性条件转化为显性条件；将复杂条件转化为简单条件；将抽象条件转化为数学图象；将应用问题转化为数学建模.

关键词：高中数学；学术形态；教育形态；转化思想；应用

数学问题的解决过程本质上是人们运用已有的数学知识寻求所面对的数学问题的答案的过程.这些数学知识包括了数学语言、概念、定理、法则和范例等.

作为一种基本的数学思想，“转化”在高中数学的教学中随处可见.且不说三角函数中的和差化积、积化和差以及其他的三角恒等变化，单是《普通高中数学课程标准（实验）》中直接提到的“转化”就包括了以下内容：将一般对数转化成自然对数或常用对数、将自然语言转化为图形语言和符号语言、将具体问题的程序框图转化为程序语句、将实际问题转化为数学问题等等.因此，引导学生运用转化思想来解决数学问题，应当是高中数学教学中的重要目标之一.

这种将未知问题转化为熟知可解问题的思想方法，说到底就是化“生”为“熟”，见新思故，就是通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.梳理高中数学解题中蕴含的转化思想，笔者觉得大致可以从以下几个方面去化生为熟，将生问题转化为熟问题.

一、将隐性条件转化为显性条件

很多数学概念有其隐含条件.比如，解三角形时，若其中有一个角是直角或钝角，另两个角则必为锐角.又如，求PA+PB的最小值时，要善于挖掘两点之间线段最短.解题时，应引导学生将题目中概念的隐含条件转化为显性条件，直接作为已知条件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：刚学习组合数这一概念时，有的学生不经思考就直接套用公式，当然是徒劳无功.其实，按照组合数的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），这就是学生熟知的知识点，却是隐含于题目中.当学生能够完成这一隐性到显性的转化时，自然不难得出n=6.这样，原题即转化为C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值为31.

二、将复杂条件转化为简单条件

如，在解方程、解不等式时，可灵活地转化为函数的关系，又如，将超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整式、多元式化为一元式、高次化为低次；在立体几何中常把空间问题转化为平面问题等等，都是将复杂转化为简单.

例2.设不等式2x-1>m（x2-1）对满足m≤2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围.

分析：原题看似一个关于m的一次不等式，解题时就要对x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分别进行讨论，计算繁琐，而且容易出错.考虑到题目中m≤2的条件，再将原不等式简单变形，我们可以把原题转化成一个等价命题.即关于m的一次函数f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定义 三、将抽象条件转化为数学图象

四、将应用问题转化为数学建模

比如，测量一个建筑物的高度，或测量河对岸两点间的距离，可以转化为解斜三角形的问题.又如，银行的复利、等额还款的一些问题可以转化为数列问题。

例4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平等于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长.（精确到1米）（2008年上海高考卷第17题）

分析：这是一道典型的数学应用题.命题者已经初步给我们建立了数学模型.结合高中所学知识，学生应该易于将此问题转化为解斜三角形的问题.经过转化之后，学生不必被原题中的时间与速度所困扰，而只需寻找三角形中边与角之间的关系了.由题可知CD和DA的长度及角O的度数，利用题中的平行条件即可知道∠ADC的度数.联系它们之间的关系就是两边夹角，就不难想到这时利用余弦定理解斜三角形的问题.有了模型，解题就方便了，只要找出三角形，这道题就迎刃而解了.

答：该扇形的半径OA的长约为445米.

在数学教学中，我们需要不失时机地渗透转化思想，将数学的学术形态转化为教育形态，不但教会学生基础知识与基本能力，而且培养学生的转化意识，优化学生化生为熟的思维品质，体验“量的关系与空间形式”（恩格斯语）之美，感受数学的学科魅力，真正提高学生的数学素养.

参考文献：

[1]林清.浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用.福建教育学院学报，2008（12）.

[2]魏华斌.数学中常用的5种转化思想.湖北职业技术学院学报，2008（03）.

[3]李智.例谈转化思想在立体几何教学中的运用.新课程研究：基础教育，2009（06）.endprint

摘 要：数学问题的解决过程本质上是人们在面对新的数学问题时，运用已有的数学知识，包括数学语言、概念、定理、法则和范例等，通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.结合教学的具体实例，将高中数学教学中的常见转化归纳为四类，力求将数学的学术形态转化为教育形态.具体为：将隐性条件转化为显性条件；将复杂条件转化为简单条件；将抽象条件转化为数学图象；将应用问题转化为数学建模.

关键词：高中数学；学术形态；教育形态；转化思想；应用

数学问题的解决过程本质上是人们运用已有的数学知识寻求所面对的数学问题的答案的过程.这些数学知识包括了数学语言、概念、定理、法则和范例等.

作为一种基本的数学思想，“转化”在高中数学的教学中随处可见.且不说三角函数中的和差化积、积化和差以及其他的三角恒等变化，单是《普通高中数学课程标准（实验）》中直接提到的“转化”就包括了以下内容：将一般对数转化成自然对数或常用对数、将自然语言转化为图形语言和符号语言、将具体问题的程序框图转化为程序语句、将实际问题转化为数学问题等等.因此，引导学生运用转化思想来解决数学问题，应当是高中数学教学中的重要目标之一.

这种将未知问题转化为熟知可解问题的思想方法，说到底就是化“生”为“熟”，见新思故，就是通过冷静思考，仔细分析，将原问题转化为与之相关的自己熟悉的问题去加以解答.梳理高中数学解题中蕴含的转化思想，笔者觉得大致可以从以下几个方面去化生为熟，将生问题转化为熟问题.

一、将隐性条件转化为显性条件

很多数学概念有其隐含条件.比如，解三角形时，若其中有一个角是直角或钝角，另两个角则必为锐角.又如，求PA+PB的最小值时，要善于挖掘两点之间线段最短.解题时，应引导学生将题目中概念的隐含条件转化为显性条件，直接作为已知条件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：刚学习组合数这一概念时，有的学生不经思考就直接套用公式，当然是徒劳无功.其实，按照组合数的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），这就是学生熟知的知识点，却是隐含于题目中.当学生能够完成这一隐性到显性的转化时，自然不难得出n=6.这样，原题即转化为C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值为31.

二、将复杂条件转化为简单条件

如，在解方程、解不等式时，可灵活地转化为函数的关系，又如，将超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整式、多元式化为一元式、高次化为低次；在立体几何中常把空间问题转化为平面问题等等，都是将复杂转化为简单.

例2.设不等式2x-1>m（x2-1）对满足m≤2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围.

分析：原题看似一个关于m的一次不等式，解题时就要对x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分别进行讨论，计算繁琐，而且容易出错.考虑到题目中m≤2的条件，再将原不等式简单变形，我们可以把原题转化成一个等价命题.即关于m的一次函数f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定义 三、将抽象条件转化为数学图象

四、将应用问题转化为数学建模

比如，测量一个建筑物的高度，或测量河对岸两点间的距离，可以转化为解斜三角形的问题.又如，银行的复利、等额还款的一些问题可以转化为数列问题。

例4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平等于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长.（精确到1米）（2008年上海高考卷第17题）

分析：这是一道典型的数学应用题.命题者已经初步给我们建立了数学模型.结合高中所学知识，学生应该易于将此问题转化为解斜三角形的问题.经过转化之后，学生不必被原题中的时间与速度所困扰，而只需寻找三角形中边与角之间的关系了.由题可知CD和DA的长度及角O的度数，利用题中的平行条件即可知道∠ADC的度数.联系它们之间的关系就是两边夹角，就不难想到这时利用余弦定理解斜三角形的问题.有了模型，解题就方便了，只要找出三角形，这道题就迎刃而解了.

答：该扇形的半径OA的长约为445米.

在数学教学中，我们需要不失时机地渗透转化思想，将数学的学术形态转化为教育形态，不但教会学生基础知识与基本能力，而且培养学生的转化意识，优化学生化生为熟的思维品质，体验“量的关系与空间形式”（恩格斯语）之美，感受数学的学科魅力，真正提高学生的数学素养.

参考文献：

[1]林清.浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用.福建教育学院学报，2008（12）.

[2]魏华斌.数学中常用的5种转化思想.湖北职业技术学院学报，2008（03）.

[3]李智.例谈转化思想在立体几何教学中的运用.新课程研究：基础教育，2009（06）.endprint