高中数学导数教学有效性探究

秦泗伟

（延边第二中学， 吉林 延吉 133000）

导数作为高中数学学习的主要内容和解决函数问题的主要工具，在高考中占有重要的地位，一般命制一道小题和一道压轴题，而压轴题是高分生的必争之地，考查点集中在导数的计算、几何意义、利用导数求单调区间、极值和最值，以及与其它数学知识如二次函数、方程、不等式等结合的含参综合题。教学中，笔者发现准确把握核心概念本质、了解学生学习的困惑、善于总结解题规律、认真钻研高考真题能够使导数的教学更加有效。

一、把握概念本质，让教学更有效

导数和定积分是微积分的核心概念，具有丰富的实际背景和广泛的应用。它们的定义都是形式化的极限，就高中生得认知水平而言，很难理解极限的形式化定义，这种困难也影响了对概念本质的理解。教学中为了避免学生的认知水平和知识间的矛盾，为了更好地把握概念的本质，不必追求理论上的严密和过多的形式化技巧。而一些资料上出现的形式化极限的练习题，教师应及时删减，避免加重学生的学习负担。

笔者认为，教学中注意从学生熟悉的事例引入，循序渐进，有利于学生的接受。关于导数概念的教学，通过两个实例气球膨胀率问题和高台跳水问题，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从而理解导数的概念的本质---瞬时变化率。教师要借助曲线在某点切线的斜率和物理中运动物体的瞬时速度从几何和物理两个角度去帮助学生理解导数的概念。关于定积分的概念教学，借助教科书中两个典型问题——求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程，着重揭示出“以直代曲”“以不变代变”和“逼近”的思想方法，从而引出定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。

二、把握学生困惑，让教学更有效

利用导数解决函数问题，首先要注意“定义域优先”原则，其次是准确求导，特别指出的是关于复合函数的求导，教学中一定要控制好习题的难度。教学中，笔者发现有些学生在某些知识点上的错误反复出现，教师如果把握好学生的困惑点，及时解惑，教学效果会更好。

问题：(1)求函数 f(x)=xlnx的单调递减区间为_____。

（2）若函数 f (x)=ax3-x在R上是减函数，则a的取值范围是_____。

笔者发现，教学中，学生对已知函数求单调区间和已知函数的单调性求参数范围问题容易混淆，关键在等号的取舍上，教学中可以指导学生检验“=”的取舍。另外对“函数在区间D上是单调递增函数”与“函数的单调递增区间是 D”的区别理解不到位导致解题容易出现失误。其中第2题学生易丢掉等号，第3题又不能带等号，这都需要学生十分细心。教学中除借助幂函数y=x3的单调性与导数的正负的关系进行解释外，还可以进一步说明：曲线在该点的切线为与y轴重合的直线；点（0,0）是函数y=x3的一个拐点，它是凹凸性的分界点，并引导学生对二阶导数与函数的单调性、图象的凹凸性进行探索，为自主学习提供素材。

三、把握解题规律，让教学更有效

导数是研究函数的强有力工具，求函数的单调区间、极值和最值、不等式恒成立、有解问题、零点问题等，都需要分析函数的单调性。

例如下面两个问题：

（1）设a为常数，求函数 f(x)=-x3+3ax（0≤x≦1）的最大值。

（解答过程略）

含参问题一直是学生学习的难点，往往又是握住两个问题：为什么讨论？如何讨论？教学中笔者引导学生归纳出导数解决函数问题的一般套路：（1）先求函数定义域；（2）求导函数（能通分或因式分解的要变形彻底）；（3）分析方程f´(x)=0是否有根？什么条件下有根？若方程没有根，则函数在定义域上必单调，取等号时方程有根一般也单调。（4）方程f´(x)=0若有根，还得讨论根是否在函数的定义域内？若根不在定义域内则函数依旧在定义域上单调，否则函数就不单调。这样，学生在遇到含参数问题时就不会无从下手了。

四、把握高考真题，让教学更有效

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型，这类题目学生容易想到用分离参数法，转化为求函数最值问题，有些题目可以求出最值，还有些题用高中知识不易顺利解决，只有进行适当的分类讨论和假设反证等综合方法，这对大多数学生来说无疑是很困难的。

问题：（2010年全国新课标理科）设函数f(x)=ex-1-x-ax2，

（1）若a=0，求f(x)的单调区间；

（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围。

原解：（1）a=0 时，f(x)=ex-1-x，f´(x)=ex-1，

当 x∈(-∞,0)时，f´(x)<0；当 x∈(0,+∞ )时，f´(x)>0，

故f(x)在(-∞,0)单调减少，在(0,+∞)单调增加，

（II）f´(x)=ex-1-2ax 由（I）知 ex≥ 1+x，当且仅当x=0时等号成立，故f´(x)≥x-21ax=（1-2a）x，从而当（1-2a）x≥0，即 a ≤2 时，f´(x)≥0(x≥0)，而 f(0)=0，

原解在处理第（II）时较难想到，学生比较容易想到的方法是----参数分离，将不等式的恒成立问题转化为函数最值问题。

但由于g(x)在x=0处没有意义，学生都束手无策。而利用洛必达法则可以较好的处理分离出来的函数式的最值。