数学填空题中压轴题的特点及应对策略

周兴

填空题的压轴题是高考选拔顶级人才的重要平台，凝聚了命题人的智慧。它既能全面考查考生的运算、推理、估计等高层次的思维能力，也能考查考生在碰到困难时是否沉着冷静、是否自信、是否能控制自己情绪等非智力方面的能力，能全面反映考生的综合素养。那么填空压轴题的特点是什么？我们又应该采取怎样的应对策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江苏卷14）已知正数a，b，c满足条件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，则的取值范围是 .

解：因为a，b，c都是正数，不等式两边都除以c，

5-≤≤4-.

因为cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目标函数的几何意义：可行域中的点和原点连线的斜率.

A（，），B（1，e），且B点在可行域内，所以的取值范围是（e，7）.

评析：这类问题是考试的热点，它作为压轴题能让考生感到字母多而无所适从，主要的应对策略是：利用转化、化归的思想，把已知不等式同除以c，再利用换元思想令x=，y=，把三个变量转化为两个变量，最后利用线性规划来解决问题。

二、大运算量型

例2 （2010·江苏卷14）将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 .

解：设梯形上底边为x，则梯形的两腰为（1-x），高为（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，当0

当

所以，当x=时，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

评析：这类压轴题运算量非常大，学生遇到这类题目时常常感到题目会做，但又做不完、做不对，此时学生情绪上会很沮丧，这类题目对学生的杀伤力是最大的。应对策略：平时加强对学生运算能力的培养，对运算量大的题目要不急不躁，迎难而上，打下扎实的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于.

同样，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值为1，所以x1x2的最小值为9，此时x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

评析：这类压轴题未知量多而等量关系只有一个，用常规的演绎法很难解决此类问题，学生往往感到深不可测。应对策略：靠合情推理以及严密的逻辑思维能力推得未知量的值，此类问题作为压轴题的情况较多，要引起学生的高度重视。

四、大胆估计型

1.估计数值

例4 （2013·江苏卷14）在正项等比数列{an}中，a5=，

a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 .

解：设等比数列的首项为a1，公比为q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估计n=12时，212-1>211，n=13时，213-1<218.

所以满足条件的最大正整数n的值为12.

评析：此类压轴题在解到关键时刻时，就不能直接靠解不等式来求n的范围，只能观察式子，对n的值做有效估计，这样才能又快又准地解出答案。

2.估计图形

例5 （2014·苏州卷14）若<0（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是 .

解：设函数f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因为两个函数的函数值的商对一切x≥4都小于0，

因为m2>0且f（x）过定点（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的图形如下：

f

可得f（x）与x轴的交点在（4，0）的左侧.

估计g（x）=mx+1的斜率小于0，与x轴的交点也在（4，0）的左侧.

列出不等式组f（4）>0

g（4）>0，解得m的范围是-∞，

-.

评析：此类压轴题首先要构造几个函数，然后分别研究这些函数的图象，并估计出这些图象在同一坐标轴中的位置，通过零点、特殊点的函数值列出不等式组或方程，解出范围或值。这要求学生对基本初等函数的图象要熟练掌握。

综上，作者只对常见的“多字母型”“大运算量性”“合情推理型”“大胆估计型”四类压轴题做了归类、评析和总结，并提出了应对策略，希冀对教师的教学实践能有一定的指导价值，给考生的复习和高考带来启发和帮助。

填空题的压轴题是高考选拔顶级人才的重要平台，凝聚了命题人的智慧。它既能全面考查考生的运算、推理、估计等高层次的思维能力，也能考查考生在碰到困难时是否沉着冷静、是否自信、是否能控制自己情绪等非智力方面的能力，能全面反映考生的综合素养。那么填空压轴题的特点是什么？我们又应该采取怎样的应对策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江苏卷14）已知正数a，b，c满足条件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，则的取值范围是 .

解：因为a，b，c都是正数，不等式两边都除以c，

5-≤≤4-.

因为cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目标函数的几何意义：可行域中的点和原点连线的斜率.

A（，），B（1，e），且B点在可行域内，所以的取值范围是（e，7）.

评析：这类问题是考试的热点，它作为压轴题能让考生感到字母多而无所适从，主要的应对策略是：利用转化、化归的思想，把已知不等式同除以c，再利用换元思想令x=，y=，把三个变量转化为两个变量，最后利用线性规划来解决问题。

二、大运算量型

例2 （2010·江苏卷14）将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 .

解：设梯形上底边为x，则梯形的两腰为（1-x），高为（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，当0

当

所以，当x=时，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

评析：这类压轴题运算量非常大，学生遇到这类题目时常常感到题目会做，但又做不完、做不对，此时学生情绪上会很沮丧，这类题目对学生的杀伤力是最大的。应对策略：平时加强对学生运算能力的培养，对运算量大的题目要不急不躁，迎难而上，打下扎实的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于.

同样，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值为1，所以x1x2的最小值为9，此时x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

评析：这类压轴题未知量多而等量关系只有一个，用常规的演绎法很难解决此类问题，学生往往感到深不可测。应对策略：靠合情推理以及严密的逻辑思维能力推得未知量的值，此类问题作为压轴题的情况较多，要引起学生的高度重视。

四、大胆估计型

1.估计数值

例4 （2013·江苏卷14）在正项等比数列{an}中，a5=，

a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 .

解：设等比数列的首项为a1，公比为q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估计n=12时，212-1>211，n=13时，213-1<218.

所以满足条件的最大正整数n的值为12.

评析：此类压轴题在解到关键时刻时，就不能直接靠解不等式来求n的范围，只能观察式子，对n的值做有效估计，这样才能又快又准地解出答案。

2.估计图形

例5 （2014·苏州卷14）若<0（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是 .

解：设函数f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因为两个函数的函数值的商对一切x≥4都小于0，

因为m2>0且f（x）过定点（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的图形如下：

f

可得f（x）与x轴的交点在（4，0）的左侧.

估计g（x）=mx+1的斜率小于0，与x轴的交点也在（4，0）的左侧.

列出不等式组f（4）>0

g（4）>0，解得m的范围是-∞，

-.

评析：此类压轴题首先要构造几个函数，然后分别研究这些函数的图象，并估计出这些图象在同一坐标轴中的位置，通过零点、特殊点的函数值列出不等式组或方程，解出范围或值。这要求学生对基本初等函数的图象要熟练掌握。

综上，作者只对常见的“多字母型”“大运算量性”“合情推理型”“大胆估计型”四类压轴题做了归类、评析和总结，并提出了应对策略，希冀对教师的教学实践能有一定的指导价值，给考生的复习和高考带来启发和帮助。

填空题的压轴题是高考选拔顶级人才的重要平台，凝聚了命题人的智慧。它既能全面考查考生的运算、推理、估计等高层次的思维能力，也能考查考生在碰到困难时是否沉着冷静、是否自信、是否能控制自己情绪等非智力方面的能力，能全面反映考生的综合素养。那么填空压轴题的特点是什么？我们又应该采取怎样的应对策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江苏卷14）已知正数a，b，c满足条件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，则的取值范围是 .

解：因为a，b，c都是正数，不等式两边都除以c，

5-≤≤4-.

因为cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目标函数的几何意义：可行域中的点和原点连线的斜率.

A（，），B（1，e），且B点在可行域内，所以的取值范围是（e，7）.

评析：这类问题是考试的热点，它作为压轴题能让考生感到字母多而无所适从，主要的应对策略是：利用转化、化归的思想，把已知不等式同除以c，再利用换元思想令x=，y=，把三个变量转化为两个变量，最后利用线性规划来解决问题。

二、大运算量型

例2 （2010·江苏卷14）将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 .

解：设梯形上底边为x，则梯形的两腰为（1-x），高为（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，当0

当

所以，当x=时，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

评析：这类压轴题运算量非常大，学生遇到这类题目时常常感到题目会做，但又做不完、做不对，此时学生情绪上会很沮丧，这类题目对学生的杀伤力是最大的。应对策略：平时加强对学生运算能力的培养，对运算量大的题目要不急不躁，迎难而上，打下扎实的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于.

同样，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值为1，所以x1x2的最小值为9，此时x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

评析：这类压轴题未知量多而等量关系只有一个，用常规的演绎法很难解决此类问题，学生往往感到深不可测。应对策略：靠合情推理以及严密的逻辑思维能力推得未知量的值，此类问题作为压轴题的情况较多，要引起学生的高度重视。

四、大胆估计型

1.估计数值

例4 （2013·江苏卷14）在正项等比数列{an}中，a5=，

a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 .

解：设等比数列的首项为a1，公比为q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估计n=12时，212-1>211，n=13时，213-1<218.

所以满足条件的最大正整数n的值为12.

评析：此类压轴题在解到关键时刻时，就不能直接靠解不等式来求n的范围，只能观察式子，对n的值做有效估计，这样才能又快又准地解出答案。

2.估计图形

例5 （2014·苏州卷14）若<0（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是 .

解：设函数f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因为两个函数的函数值的商对一切x≥4都小于0，

因为m2>0且f（x）过定点（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的图形如下：

f

可得f（x）与x轴的交点在（4，0）的左侧.

估计g（x）=mx+1的斜率小于0，与x轴的交点也在（4，0）的左侧.

列出不等式组f（4）>0

g（4）>0，解得m的范围是-∞，

-.

评析：此类压轴题首先要构造几个函数，然后分别研究这些函数的图象，并估计出这些图象在同一坐标轴中的位置，通过零点、特殊点的函数值列出不等式组或方程，解出范围或值。这要求学生对基本初等函数的图象要熟练掌握。

综上，作者只对常见的“多字母型”“大运算量性”“合情推理型”“大胆估计型”四类压轴题做了归类、评析和总结，并提出了应对策略，希冀对教师的教学实践能有一定的指导价值，给考生的复习和高考带来启发和帮助。